D10177. Croisez les tangentes
On donne un triangle ABC, son cercle circonscrit (O), le cercle (I) exins- crit dans l’angleA, qui coupe (O) enP etQ. La tangente enP `a (I) coupe (O) en S. Montrer que la tangente en S `a (O) est ´egalement tangente `a (I).
Solution
De S, je m`ene la seconde tangente ST `a (I). Il s’agit de montrer qu’elle est confondue avec la tangente enS `a (O), orthogonale enS `aOS.
La droiteIP recoupe (O) en U. La puissance de I par rapport `a (O) est
|IP| · |IU|=|OI|2−R2 = 2Rr
selon la relation classique d’Euler, d’o`u |IU| = 2R. Le triangle SP U est rectangle enP, doncO est milieu deSU et|SU|= 2R=|IU|. Le triangle SIU est isoc`ele et (SO, SI) = (SI, P I) (angles orient´es de droites non orient´ees, d´efinis `a π pr`es).
D’autre partSI est bissectrice de l’angleP ST : (SI, ST) = (SP, SI).
Cela permet d’´evaluer l’angle (SO, ST) : (SO, ST) = (SO, SI) + (SI, ST)
= (SI, P I) + (SP, SI) = (SP, P I) qui est droit. CQFD.
Une autre solution, tr`es ´el´egante, s’appuie sur le th´eor`eme : “Si (O) et (I) sont les cercles circonscrit et inscrit (ou exinscrit) `a un triangleABC, tout point de (O) ext´erieur `a (I) est sommet d’un triangle inscrit dans (O) `a cˆot´es tangents `a (I)”.
Sur l’arc de (O) ext´erieur `a (I), faisons tendre un point Z vers P. Les tangentes `a (I) men´ees de ce point tendent toutes deux vers P S. Les autres sommets X et Y du triangle du th´eor`eme tendent tous deux vers S le long de (O), et la droite XY qui les joint tend vers la tangente en S
`a (O), sans cesser d’ˆetre tangente `a (I).
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