D10068. Pas de triangle vide
On donne un ensembleAde n≥3 points dans le plan, sans qu’il y en ait 3 d’align´es. Montrer qu’il existe un ensembleB de 2n−5 points du plan, avec la propri´et´e suivante : pour tout triangle ayant pour sommets des points de A, il y a un point deB (au moins) qui est strictement int´erieur `a ce triangle.
Solution
Le nombre des segments joignant deux points de l’ensembleA est fini, pre- nons une droiteD1qui n’est parall`ele `a aucun d’eux. Prenons une droiteD2
non parall`ele `a D1, et projetons les points de Asur D2 parall`element `a D1. Ces projections sont toutes distinctes et permettent de num´eroter les points de A, de A1 `a An, dans l’ordre de leurs projections surD2.
L’enveloppe convexe desAi a csommets, incluantA1 etAn (c≥3).
Je trace par chaque pointAi (1< i < n) la parall`ele `a D1 et je consid`ere – les deux demi-droites d’origineAi sur cette parall`ele, si Ai est int´erieur `a l’enveloppe convexe,
– la demi-droite d’origine Ai sur cette parall`ele, du cˆot´e int´erieur `a l’enve- loppe convexe, siAi est un sommet de cette enveloppe.
Cela repr´esente en tout 2(n−c) + (c−2) = 2n−c−2 demi-droites.
Pour chaque triangle AiAjAk, avec 1 ≤ i < j < k ≤ n, le cˆot´e AiAk rencontre une demi-droite d’origine Aj, en un point distinct de Aj.
Sur chaque demi-droite issue de Aj, un point plus proche de Aj que toutes ces intersections (qui sont en nombre fini) sera strictement int´erieur aux tri- angles qui produisent ces intersections. Il suffit donc de constituer l’ensemble Ben choisissant sur chaque demi-droite un point respectant cette condition.
On peut donc satisfaire l’´enonc´e avec un ensemble de |B| points, |B| = 2n−c−2≤2n−5.
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