G2927. L’´ equilat´ eral dans l’´ equilat` ere
Q1/ Une hyperbole circonscrite `a un triangle et passant par l’orthocentre est n´ecessairement ´equilat`ere. On peut donc inscrire un triangle ´equilat´eral dans une hyperbole ´equilat`ere.
Pour un polygone r´egulier `a n >3cˆot´es, il existe C(n,3) triangles ayant les sommets communs avec ceux du polygone. Parmi ces triangles, si n est pair, on prend 2 triangles sym´etriques par rapport au centre et on obtient 4points align´es (2 sommets et 2 orthocentres), et n est impair, un triangle compos´e de 3 sommets cons´ecutifs et celui qui est compos´e du sommet ”central” et du cˆot´e oppos´e, et on obtient3points align´es. Ces points align´es ne peuvent pas appartenir `a une conique non d´eg´en´er´ee.
Q2/ Pour trouver le centre de l’hyperbole, on trace une 2`eme corde parall`ele
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a un cˆot´e du triangle, par exemple CD kAB. La droite McNc joignant las milieux de AB et de CD est un diam`etre de l’hyperbole : le centre O est le milieu de la cordeP P0.
Les asymptotes de l’hyperbole sont parall`eles aux bissectrices des directions con- jugu´eesAB etMcNc, et les axes sont les bissectrices des asymptotes. D’o`u les sommetsS etS0.
La droiteHOcoupeΓenJ. Le diam`etreKK0est d´efini parKHC\ = 1 2CHJ\ (C peut ˆetre remplac´e parAouB). Les axes de l’hyperbole sont les droites de Simson deK etK0 par rapport au triangleA0B0C0 sym´etrique deABC par rapport `aH. Oest donc situ´e sur le cercle d’Euler deABC.
Lorsque J d´ecrit Γ, les axes enveloppent l’hypocyclo¨ıde de Steiner repr´esent´ee en noir.
Concernant l’arc de courbe d´ecrit parS etS0 lorsqueJ est compris entreC et B0 sur Γ(les autres parties s’en d´eduisent par des sym´etries et/ou rotations),
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on a les ´egalit´es d’angles :
α=KHC\ =HM\cO=N\cOJ CHJ\ = 2α S\0OP0= α 2,
et les relations OP2 = MCO2−McA2 (les cercles (Mc, McA) et (O, OP) sont orthogonaux) et OS = OP cosα
2 qui permettent de d´eterminer une
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equation param´etrique du lieu.
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