Universit´e de Reims Champagne Ardenne UFR Sciences Exactes et Naturelles
Ann´ee universitaire 2013-2014 SEN 0505 - Licence 3
TD 2 : Les triangles
Exercice 1 D´emontrer qu’un triangle ABC dans lequel la hauteur et la m´ediatrice issues de A co¨ıncident, est isoc`ele en A. Reprendre cet exercice avec des hypoth`eses similaires illustrant quelques particularit´es des droites remarquables d’un triangle.
Exercice 2 Soit ABCD un parall´elogramme et E le sym´etrique deB par rapport `a D. Montrer que D est le centre de gravit´e du triangleAEC.
Exercice 3 Soit ABCD un parall´elogramme E le sym´etrique de C par rapport `a D. Construire
`
a la r`egle seule le centre de gravit´e du triangle BEC.
Exercice 4
1. Montrer qu’une m´ediane d’un triangle partage ce triangle en deux triangles de mˆeme aire.
2. En d´eduire que les trois m´edianes d’un triangle partage ce triangle en six triangles de mˆeme aire.
Exercice 5 Construire un triangle, connaissant un cˆot´e et son centre de gravit´e.
Exercice 6 Retrouver le centre d’un cercle `a l’aide d’une seule ´equerre. Justifier la construction.
Exercice 7 SoitABCDun parall´elogramme,Ile milieu de [AB] etJ le milieu de [CD] ; les droites (AJ) et (CI) coupent la diagonale (BD) en E etF respectivement. Montrer que DE =EF =F B.
Exercice 8 On consid`ere deux droites D et D0 s´ecantes en O; par un point M ext´erieur `a ces droites, on m`ene une perpendiculaire `aDpassant parM qui coupeD0 enA, puis une perpendiculaire
`
a D0 passant par M qui coupe D en B. Montrer que la droite (AB) est perpendiculaire `a la droite (OM).
Exercice 9 Soit ABCD un carr´e etE un point ext´erieur `a ce carr´e tel que BCE soit un triangle
´equilat´eral. On note F le milieu de [BC].
1. Construire la figure `a la r`egle et au compas en supposant que [AB] mesure 6 cm.
2. Placer le centre O du cercle circonscrit au triangle ADE.
3. Montrer que CDOE est un losange.
4. Montrer que (EA) est bissectrice de l’angle \BEF. 5. Pr´eciser le rayon du cercle circonscrit au triangleADE.
6. Soit H le point int´erieur au carr´e ABCD tel que CDH soit aussi un triangle ´equilat´eral.
Prouver que les pointsA, H et E sont align´es.
Exercice 10 Soit ABC un triangle d’orthocentre H, et D le point du cercle circonscrit `a ce triangleABC, diam´etralement oppos´e `aA.
1. Montrer que BDCH est un parall´elogramme.
2. Montrer que le sym´etrique orthogonal deH par rapport `a la droite (BC) est un point du cercle circonscrit au triangle ABC.
Exercice 11 A l’aide d’une r`egle et d’un compas, construire les deux hauteurs [BB0] et [CC0] d’un triangle ABC, puis construire les milieux I et I0 des segments [BC] et [B0C0]. Montrer que la droite (II0) est m´ediatrice de [B0C0].
Exercice 12 Soit ABC un triangle ; on d´esigne par A0, B0 etC0 les milieux des cˆot´es [BC], [AC]
et [AB].
1. Construire la figure `a la r`egle et au compas.
2. Montrer que les droites (AC), (AB) et (BC) sont respectivement parall`eles `a (A0C0), (A0B0) et (B0C0).
3. Montrer que les triangles ABC etA0B0C0 ont mˆeme centre de gravit´e.
4. Comparer les aires de ces triangles.
Exercice 13 SoitABCD un carr´e etE un point de [BC], distinct deB etC. Le cercle circonscrit au triangle ACE coupe (CD) en C et en un second point not´eF. Montrer que BE =DF.
Exercice 14 D´ecouper, `a la r`egle et au compas, un segment [AB] donn´e en 5 segments de mˆeme longueur.
