Chapitre 2 : Construction de triangles I.

Chapitre 2 : Construction de triangles

I.

Construction à la règle et au compas

* On peut construire un triangle si on connaît les longueurs des 3 côtés à condition que celles-ci conviennent.

Exemple : construction du triangle ABC tel que AB=4,5cm, BC=5,5cm et AC=3cm

Il y a deux possibilités pour tracer ce triangle : sur la figure ci-contre, les triangles ABC et A'BC sont symétriques par rapport au segment [BC].

Mais parfois, les longueurs données ne conviennent pas.

Exemple n°1 : Construire le triangle DEF tel que DE = 11 cm , DF = 4 cm et EF = 5,5 cm.

Voici la construction que l'on obtient.

Effectivement, le segment [DE] est trop grand pour que les arcs de cercle de 4cm et de 5,5cm ne se croisent.

Proposition : Dans un triangle ABC, la longueur de chaque côté est inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres côtés.

AB AC+CB AC AB+BC BC BA+AC Ce sont les inégalités triangulaires.

Conséquence : On pourra construire un triangle seulement si les inégalités triangulaires sont vérifiées.

Remarque : Il suffit en fait de vérifier que la longueur du plus grand côté est inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres côtés.

Suite de l'exemple n°1 : Voici comment rédiger en exercice la vérification qu'on peut construire le triangle :

Dans le triangle DEF, [DE] est le plus grand côté. → On précise quel est le plus long côté

On a DE=11cm → On précise sa longueur

DF+EF=4+5,5=9,5cm → On calcule la somme des longueurs des 2 autres côtés

Donc DE>DF+EF → On écrit l'inégalité triangulaire On ne peut donc pas construire le triangle DEF. → On conclut

Exemple n°2 : Construire le triangle GHI tel que GH=3cm, HI=2cm et GI=4cm Dans le triangle GHI, [GI] est le plus grand côté. On a :

GI=4cm

GH+HI=3+2=5cm Donc GI < GH+HI

On peut donc construire le triangle GHI.

Remarque : dans le cas où dans un triangle ABC on aurait AB+BC=AC, alors, cela signifie que les points sont alignés et que le triangle est plat. On note B∈[AC](B appartient à [AC])

II Construction à la règle et au rapporteur

Voir la fiche d’AP pour l’utilisation du rapporteur

* On peut construire un triangle lorsqu’on connaît les longueurs de deux côtés et la mesure de l'angle compris entre ces deux côtés.

Exemple : Pour construire le triangle ABC tel que AB = 4,5 cm , AC = 6 cm et ^BAC _{= 40°}

Il y a deux possibilités pour tracer ce triangle : sur la figure ci-contre, les triangles ABC et AB'C sont symétriques par rapport au segment [AC].

* On peut construire un triangle lorsqu’on connaît la longueur d’un côté et la mesure des angles adjacents à ce côté.

Définition : Un angle est adjacent à un segment si celui-ci est un côté de l’angle.

Ex :^ABC est adjacent au côté [AB].

Les angles adjacents au côté [AC] sont ^BAC et^BCA

Exemple : Pour construire le triangle ABC tel que AB = 6 cm , ^BAC_{= 30° et} ^{^}ABC _{= 55°}

Il y a deux possibilités pour tracer ce triangle :

sur la figure ci-contre, les triangles ABC et ABC' sont symétriques par rapport au segment [AB].

III Triangles particuliers

Définition : Un triangle isocèle est un triangle qui possède …...…...…...…….

Un triangle équilatéral est un triangle qui possède …...…...

Un triangle rectangle est un triangle qui a …...…...

(on dit aussi qu'il possède …...).

L'hypoténuse est le plus long côté d'un triangle rectangle. C'est le côté opposé à l'angle droit.

IV Droites remarquables du triangle