Syst` emes ` a deux ´ equations et deux inconnues
D´edou
Octobre 2012
La m´ ethode bourrin : exemple
R´esoudre le syst`eme
3x−2y = 1
−5x+ 4y =−4.
Je r´eduis les deux ´equations `a
y = 3x2 −12 y = 5x4 −1.
et je sais r´esoudre ce nouveau syst`eme.
La m´ ethode bourrin : exo
Exo 1
R´esoudre par la m´ethode bourrin le syst`eme
2x−3y = 4
−5x+ 4y= 1.
La m´ ethode bourrin : conclusion
La m´ethode bourrin demande des calculs avec plein de d´enominateurs.
On veut une m´ethode avec des calculs moins p´enibles.
La stabilit´ e par multiplication
Exemple
Le point (1,2) v´erifie l’´equation 2x+ 3y = 8.
Il v´erifie aussi l’´equation 4x+ 6y = 16.
Si un point (x,y) v´erifie une ´equation, il v´erifie aussi ses multiples.
La stabilit´ e par addition
Exemple
Le point (1,2) v´erifie l’´equation 2x+ 3y = 8 et l’´equation 5x+ 6y = 17.
Il v´erifie aussi l’´equation 7x+ 9y = 25.
Si un point (x,y) v´erifie deux ´equations, il v´erifie aussi leur somme.
La stabilit´ e par combinaison lin´ eaire
Si un point (x,y) v´erifie deux ´equations, il v´erifie aussi leur somme.
Si un point (x,y) v´erifie une ´equation, il v´erifie aussi ses multiples.
Si un point (x,y) v´erifie deux ´equations, il v´erifie aussi leurs combinaisons lin´eaires.
Le principe de la r´ esolution par combinaison lin´ eaire
Pour r´esoudre un syst`eme, on va faire des combinaisons lin´eaires d’´equations, et produire ainsi des ´equations plus simples.
Equations horizontales et verticales
On dira qu’une ´equation “sansx” est horizontale, et qu’une
´equation “sansy” est verticale.
Combinaison lin´ eaire horizontale : exemple
Face au syst`eme
(E1) 3x−2y= 1 (E2) −5x+ 4y=−4.
je fais la combinaison lin´eaire 5E1 + 3E2 et j’obtiens l’´equation 2y =−7
qui est horizontale.
Combinaison lin´ eaire horizontale : exo
Exo 2
Trouver une combinaison lin´eaire verticale des deux ´equations (E1) 4x−3y= 1
(E2) 5x+ 4y=−4.
R´ esolution par combinaison lin´ eaire : exemple
Face au syst`eme
(E1) 3x−2y = 1 (E2) −5x+ 4y =−4
je constate qu’on calcule l’intersection de deux droites de pentes diff´erentes, donc s´ecantes ;
je fais la combinaison lin´eaire 5E1 + 3E2 qui est horizontale, et la combinaison lin´eaire 2E1 +E2 qui est verticale. Le point cherch´e v´erifie donc le syst`eme
(E1) 2y =−7 (E2) x =−2.
Ce point d’intersection est donc (−2,−7
2).
R´ esolution par combinaison lin´ eaire : exo
Exo 3
R´esoudre par combinaison lin´eaire le syst`eme (E1) 2x+ 3y = 1
(E2) 3x+ 4y = 5.
