Activit´ es pr´ eparatoires 2016 - Alg` ebre (Partie 2)
Anne Lacroix
Table des mati` eres
I Equations dansR
I Valeur absolue
I Equations et in´equations fractionnaires
I Syst`emes d’´equations lin´eaires
Equations fractionnaires
Une´equation fractionnaireen l’inconnue (r´eelle)x est une ´equation du type
N(x) D(x)= 0 o`uNetD sont des polynˆomes.
Ce qui change : CONDITIONS D’EXISTENCE
Exemple
R´esoudre dans Rl’´equation suivante 1
x−1 + 1 x+ 1 = 2
In´ equations fractionnaires
M´ethode de r´esolution
1. Conditions d’existence
2. Soustraire le membre de droite dans les deux membres pour se ramener `a la forme
N(x)
D(x)≤0 ou N(x) D(x) ≥0 3. Mise au mˆeme d´enominateur
ATTENTION ne JAMAIS supprimer le d´enominateur 4. Recherche des racines
5. Tableau de signes 6. Solution
In´ equations fractionnaires
Rappels utiles pour les tableaux de signes
L’expressionPn est
I de mˆeme signe queP sinest impair
I toujours positive (ou nulle) si nest pair Signe d’un polynˆome du premier degr´e
−b/a
ax+b Signe oppos´e dea 0 Signe dea
In´ equations fractionnaires
Rappels utiles pour les tableaux de signes Signe d’un polynˆome du second degr´e Siρ <0
x1 x2
ax2+bx+c Signe dea 0 Signe oppos´e dea 0 Signe dea Siρ= 0
x1=x2
ax2+bx+c Signe dea 0 Signe dea Siρ <0
ax2+bx+c Signe dea
In´ equations fractionnaires
Exemple
R´esoudre dans Rl’in´equation
(3x+ 1)(2x−5)2(x2−4x+ 3)5 2x2−3x+ 5 ≥0
Exemple
R´esoudre dans Rl’in´equation x+ 2
x+ 3 ≤ x+ 4 x+ 5
Syst` emes lin´ eaires
Une´equation lin´eaire en lesninconnues (r´eelles ou complexes)x1, ...,xn
est une ´equation du type
a1x1+. . .+anxn=b
o`u lesa1, ...,an,bsont des nombres (r´eels ou complexes) donn´es.
Les nombresa1, ...,ansont lescoefficientsetbest leterme ind´ependant.
Syst` emes lin´ eaires
Unsyst`eme de p ´equations lin´eaires `a n inconnues(r´eelles ou complexes) est un syst`eme du type
a11x1+. . .+a1nxn=b1
...
ap1x1+. . .+apnxn=bp
o`u lesaij (i= 1, ...,p;j = 1, ...n) et lesb1, ...,bpsont des nombres (r´eels ou complexes) donn´es.
Lesaij sont les coefficientset lesbi sont lestermes ind´ependants.
Syst` emes lin´ eaires
Unn-uple de nombres (x1, ...,xn) v´erifiant simultan´ement lesp´equations est appel´esolutiondu syst`eme.
R´esoudre un syst`eme = d´eterminer l’ensemble de ses solutions.
Un syst`eme est ditcompatibles’il poss`ede au moins une solution. Un syst`eme compatible peut poss´eder une seule solution ou une infinit´e de solutions.
Deux syst`emes sont´equivalentss’ils poss`edent le mˆeme ensemble de solutions.
Syst` emes lin´ eaires
Interpr´etation g´eom´etrique
DansR2, toute ´equation du premier degr´e `a 2 inconnues ax+by+c= 0
est l’´equation d’unedroite, `a la condition que (a,b)6= (0,0).
On peut donc interpr´eter un syst`eme d’´equations lin´eaires `a2 inconnues, dont les coefficients dans la mˆeme ´equation ne sont pas simultan´ement nuls, comme un ensemble dedroites du plan.
Les solutions de ce syst`eme sont alors les points communs `a toutes les droitesdu syst`eme.
Syst` emes lin´ eaires
Interpr´etation g´eom´etrique
DansR3, toute ´equation du premier degr´e `a 3 inconnues ax+by+cz+d= 0
est l’´equation d’unplan, `a la condition que (a,b,c)6= (0,0,0).
On peut donc interpr´eter un syst`eme d’´equations lin´eaires `a3 inconnues, dont les coefficients dans la mˆeme ´equation ne sont pas simultan´ement nuls, comme un ensemble deplans de l’espace.
Les solutions de ce syst`eme sont alors les points communs `a tous les plansdu syst`eme.
Syst` emes lin´ eaires
R´esolution par combinaison lin´eaire
En multipliant une ´equation enti`ere par un mˆeme nombre, on se d´ebrouille pour avoir le mˆeme coefficient devantxi dans deux ´equations puis on soustrait ces 2 ´equations
Exemple
R´esoudre dans R
−4x+ 3y= 23 x−y =−7
Syst` emes lin´ eaires
R´esolution par substitution
On isole une inconnue dans une ´equation puis on la remplace par sa valeur dans les autres ´equations
Exemple
R´esoudre dans R
−4x+ 3y= 23 x−y =−7
