Partie III : L’alg` ebre des quaternions

CCP MP 2002, Math. II

Introduction

Dans tout ce probl`eme, les espaces vectoriels seront des R-espaces vectoriels. On appelle alg`ebre toutR-espace vectoriel Aqui est muni d’une op´eration interne nomm´ee multiplication ou produit. Cette multiplication est associative, et v´erifie la propri´et´e de distributivit´e :

∀a∈A,∀b∈A,∀c∈A, a(b+c) =ab+uc, (b+c)a=ba+cu ainsi que :

∀u∈A,∀b∈A,∀λ∈R, u(λb) = (λa)b=λ(ub)

On suppose de plus qu’il existe un ´el´ement not´e 1 ou 1Aet appel´e ´el´ement neutre pour le produit, tel que :

∀a∈A, a1 = 1a=a .

Enfin si cette multiplication est commutative, l’alg`ebre est dite commutative. La dimension d’une alg`ebre est sa dimension en tant qu’espace vectoriel. Une sous-alg`ebre deAest un sous-ensemble non vide deAqui est lui-mˆeme une alg`ebre (pour les mˆemes op´erations) et qui poss`ede le mˆeme ´el´ement neutre queA. Pour queBsoit une sous-alg`ebre deA, il suffit que ce soit un sous-espace vectoriel deA, qu’il contienne 1 et que :

∀b∈B,∀b⁰∈B, bb⁰∈B

On appelle morphisme d’alg`ebre entre deux alg`ebresAet B, toute application lin´eaire f deAdansBqui v´erifie en plus :

∀u∈A,∀a⁰∈A, f(aa⁰) =f(a)f(a⁰) et f(1A) = 1B

Un morphisme d’alg`ebre qui est une bijection est appel´e isomorphisme d’alg`ebre. On v´erifie alors que son application r´eciproque est ´egalement un morphisme d’alg`ebre. On dira que deux alg`ebres sont isomorphes s’il existe un isomorphisme d’alg`ebre entre les deux. Dans tout le probl`eme, n d´esigne un entier strictement positif. Dans ce cas,M_n(R) est l’espace vectoriel des matrices carr´ees `a n lignes et n colonnes et `a coefficients r´eels ; c’est une alg`ebre pour les op´erations habituelles. L’´el´ement neutre pour le produit est la matrice de l’identit´e, not´eeI_n. La trace d’une matriceA= (a_ij)_16i,j6n est :

tr(A) =

n

P

i=1

aii.

C’est la somme des ´el´ements diagonaux de la matrice A. Une matrice scalaire est une matrice de la formeλI_n, o`uλest un r´eel. Une matrice diagonale est une matrice dont les ´el´ements non diagonaux sont tous nuls. L’ensemble des matrices scalaires et l’ensemble des matrices diagonales forment chacun une sous-alg`ebre deMn(R).

Ce probl`eme ´etudie certaines propri´et´es des alg`ebres, et, en particulier, s’int´eresse aux alg`ebres qui sont des corps, c’est-

`

a-dire dans lesquelles tout ´el´ement non nul admet un inverse pour le produit.

Partie I : ´ Etude d’un exemple

1^o) SoitAune matrice quelconque deM2(R). V´erifier que :

A²−tr(A)A+ det(A)I2= 0. 2^o) SoitAune matrice non scalaire ; on noteAl’ensemble

A={M ∈ M2(R)/∃(a, b)∈R², M =aI2+bA}

V´erifier queAest une alg`ebre de dimension deux, sous-alg`ebre deM2(R).

3^o) Montrer queAcontient une matriceB telle queB²=−I2 si, et seulement si, (trA)²<4 detA.

4^o) V´erifier qu’alorsI₂ et B forment une base deAet en d´eduire un isomorphisme d’alg`ebre entreA et le corpsCdes nombres complexes.

5^o) On suppose que A est non scalaire et v´erifie : (trA)² = 4 detA. D´eterminer toutes les matrices de A telles que M²= 0, et en d´eduire queAn’est pas un corps.

6^o) SoitBune matrice non scalaire deM₂(R). On lui associe l’alg`ebreBcomme dans I.2. D´emontrer que siAetBsont semblables,Aet Bsont des alg`ebres isomorphes.

7^o) On suppose que Aest telle que : (trA)² >4 detA V´erifier que Aest diagonalisable de valeurs propres distinctes.

En d´eduire queAest isomorphe `a l’alg`ebre des matrices diagonales. Est-ce queAest un corps ?

Partie II : Quelques r´ esultats g´ en´ eraux

SoitDune alg`ebre de dimension finien.

1^o) Soitaun ´el´ement deD, d´emontrer que l’applicationϕ_a, d´efinie par : ϕ_a:

D → D x 7→ ax est un endomorphisme de l’espace vectorielD.

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2^o) On note B une base deD. Mat_B(ϕa) d´esigne la matrice de l’endomorphisme ϕa, dans la base B. D´emontrer que l’application :

Ψ :

D → Mn(R) a 7→ Mat_B(ϕ_a)

est un morphisme injectif d’alg`ebres. V´erifier que Ψ(D) est une sous-alg`ebre deMn(R) et en d´eduire queDest isomorphe

`

a une sous-alg`ebre deM_n(R).

3^o) On suppose queD=C, corps des nombres complexes. On munitC, consid´er´e commeR-espace vectoriel, de la base B= (1, i). Pour tout nombre complexez=a+ib, (aetbr´eels), ´ecrire la matrice Mat_B(ϕ_z).

4^o) Soit maintenantAune sous-alg`ebre deMn(R). On s’int´eresse `a quelques cas o`u on peut affirmer queAest, ou n’est pas, un corps.

a) On suppose queAcontient une matrice non scalaire A qui a une valeur propre r´eelle λ. Montrer queA ne peut pas ˆetre un corps. On utilisera une matrice bien choisie, combinaison lin´eaire deIn et deA.

b) En d´eduire que siAcontient une matrice diagonalisable ou trigonalisable non scalaire, elle ne peut pas ˆetre un corps.

c) On suppose queAest int`egre, c’est-`a-dire que :

∀A∈A,∀B ∈A, AB= 0 =⇒ A= 0 ouB= 0.

Montrer que, siAest une matrice non nulle deA, l’application Φ_A:X 7→AX est un isomorphisme de l’espace vectoriel A. En d´eduire queAest un corps.

Partie III : L’alg` ebre des quaternions

On suppose qu’il existe deux matricesA etB deMn(R) telles que :

(∗) A²=−In, B²=−In, AB+BA=O

1^o) D´emontrer que nne peut pas ˆetre impair.

2^o) D´emontrer que le sous-espace vectorielHengendr´e par les matrices In,A,B et ABest une sous-alg`ebre deMn(R) 3^o) Lorsquet,x,y et zsont des r´eels, calculer le produit :

(tIn+xA+yB+zAB)(tIn−xA−yB−zAB) 4^o) En d´eduire :

(a) que les quatre matricesIn,A,B et ABsont ind´ependantes et forment une base deH; (b) queHest un corps.

5^o) On suppose dans toute la suite du probl`eme quen= 4 et, en notant J la matriceJ =

0 −1

1 0

et 0 la matrice nulle deM2(R), on d´efinit les matricesAetB deM4(R) par :

A=

J 0 0 −J

B=

0 −I₂ I₂ 0

On pose ´egalementC=AB.

a) V´erifier que les matrices A etB satisfont la condition (∗). On appellera donc Hle sous- espace vectoriel deM4(R) engendr´e parI4,A,B et C=AB. Ses ´el´ements sont appel´esquaternions. La base (I4, A, B, C) deHsera not´ee B.

b) SoitM une matrice non nulle deH, v´erifier que^tM ∈H; quel lien y a t-il entreM⁻¹et ^tM?

Partie IV : Les automorphismes de l’alg` ebre des quaternions

1^o) On appelle quaternion pur un ´el´ementM deHtel queM =−^tM. V´erifier que l’ensemble des quaternions purs est unR-espace vectoriel de dimension trois et de baseC= (A, B, C). On le note L. Est-ce une sous-alg`ebre deH?

2^o) On munit L de la structure d’espace vectoriel euclidien telle que la baseC soit orthonorm´ee. Le produit scalaire de deux ´el´ementsM etN de L est not´e (M|N), la norme deM s’´ecritkMk. V´erifier que :

1

2(M N +N M) =−(M|N)I₄.

3^o) Montrer qu’un quaternion est pur si, et seulement si, son carr´e est une matrice scalaire de la formeλI4 o`uλest un r´eel n´egatif.

4^o) Soit ϕ un isomorphisme d’alg`ebre de H dans lui-mˆeme. D´emontrer qu’il transforme tout quaternion pur en un quaternion pur de mˆeme norme, et que la restriction deϕ`a L est un endomorphisme orthogonal.

5^o) SoientM et N deux quaternions purs. On veut d´emontrer que siM et N ont mˆeme norme, alors il existeP ∈H, non nulle, telle que : M =P⁻¹N P.

a) Commencer par examiner le cas o`uM etN sont colin´eaires.

b) On suppose maintenant queM etN ne sont pas colin´eaires. V´erifier que siM etN ont mˆeme norme : et en d´eduire une matriceP non nulle telle queM P =P N.

6^o) Montrer qu’alors, si on ´ecritP =αI₄+Q, avecαr´eel etQ∈ L,Qest orthogonal `a M et `a N.

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7^o) En d´eduire que tout isomorphisme d’alg`ebre ϕdeHdans lui-mˆeme est d´efini par : ϕ(M) =P⁻¹M P

o`u P est un ´el´ement non nul de H. On pourra observer qu’un tel isomorphisme est d´etermin´e par l’image deAet deB, et commencer par chercher les isomorphismes qui laissentAinvariante.

Fin de l’´ enonc´ e.

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