Polynˆomes Chap28

Polynˆ omes

1 Structure de Kr X s

1.1 Premi`eres d´efinitions

Remarque. Dans tout le chapitre,K d´esigne le corpsR ou C.

Construction.

Exemple.

Notation. On notera les polynˆomes sous la forme suivante :

P

¸n i0

aiXⁱ

o`uX est appel´eeind´etermin´ee etXⁱ est une notation symbolique.

On note KrXsl’ensemble de tous les polynˆomes formels `a une ind´etermin´ee sur le corps K. D´efinition. Soit P P KrXs. Alors il existe pa0, . . . , anq P K^{n 1} tel que P °_n

i0aiXⁱ. Le plus grand entier natureli₀ tel quea_i0 0 s’appelle ledegr´edeP (il existe toujours siP polynˆome nul) eta_i0 s’appelle lecoefficient dominant de P.

On convient que le degr´e du polynˆome 0 est8, et l’on ´etend l’arithm´etique deN`aN Y t8uen posant :

n 8 8 8 8 8 8  n

Exemple. P 0 1X¹ 3X² 5X³ 0X⁴ 0X⁵

D´efinition. Un polynˆome dont le coefficient dominant est 1 est appel´e unitaire(ou parfois normalis´e).

Remarque.

1.2 Addition dans KrXs

D´efinition. P a0 a1X . . . anXⁿ etQb0 b1X . . . bnXⁿ Alors on pose

P Q

¸n i0

pa_i b_iqXⁱ

Propri´et´e. pKrXs, q est un groupe commutatif, car sous-groupe deK^N. Propri´et´e. SoitP etQdansKrXs. Alors

degpP Qq ¤maxpdegpPq,degpQqq De plus, si degpPq degpQq, l’´egalit´e est vraie.

1.3 Structure d’anneau Remarque.

Exemple.

D´efinition. On d´efinit donc

c_k

¸k i0

aib_ki et on pose

P Qc0 c1X cp qX^{p q}

Propri´et´e. On a degpP Qq degpPq degpQq Th´eor`eme.

pKrXs, ,qest un anneau int`egre.

Ses inversibles sont les polynˆomes constants non nuls (de degr´e 0).

1.4 Structure d’espace vectoriel

D´efinition. On munit KrXsde la loi de composition externe Propri´et´e. pKrXs, ,qest un e.v. sur K, car s.e.v. deK^N. D´efinition. Pour nP N, on d´efinit

KnrXs tP P KrXst.q. degpPq ¤nu

Propri´et´e. KnrXsest un s.e.v. de KrXs, dont la famillep1, X, . . . , Xⁿq est une famille g´en´eratrice.

Ce sera en fait une base de KnrXs. Remarque.

1.5 D´erivation

D´efinition. Soit P

¸n k0

a_kX^k. On appellepolynˆome d´eriv´e de P le polynˆome

P¹

¸n k1

ka_kX^k1

Remarque.

1.6 Composition Juste un mot.

Attention.

Int´erˆet pour nous.

2 Arithm´ etique dans Kr X s

2.1 Relation de divisibilit´e

D´efinition. SoitpA, Bq P KrXs². On dit que A diviseB, et on noteA|B, si et seulement s’il existe QP KrXs tel queB QA.

Propri´et´e.

• SiB 0 et siA|B alors degpAq ¤degpBq

• SiB 0,A|B et degpAq degpBq alorsAλB.

Propri´et´e. C’est une relation r´eflexive, transitive. En revanche, elle n’est pas antisym´etrique.

D´efinition. Lorsque A|B etB|A, on dit que A etB sont associ´es.

Th´eor`eme.

A etB sont associ´es ðñ DλP K t.q.AλB

Exemple.

2.2 Division euclidienne

Th´eor`eme (Division euclidienne).

Soit pA, Bq P KrXs² tel queB 0. Alors il existe un unique pQ, Rq P KrXs² tel que

#

ABQ R

R0 ou degpRq  degpBq

Qs’appelle lequotient etR lereste dans la division euclidienne deAparB.

Exemple. Effectuer la division euclidienne dansRrXsde A12X X²4X⁴ 2X⁵ parB1 X². Exemple. Effectuer la division euclidienne dansCrXsde AiX³X² p1iq parB p1 iqX²iX 3.

Algorithme. On donneA etB et on chercheQ etR tels queABQ R.

Eucl := proc(A::polynom,B::polynom) local d,k,Q,R,AA;

AA := A; Q := 0; d := degree(AA) - degree(B);

while (d>=0) do

k := lcoeff(AA) / lcoeff(B);

Q := Q + k * X^d;

R := expand (AA - B * k * X^d);

AA := R; d := degree(AA) - degree(B);

end do;

[Q,R];

end proc:

A := 4*X^4 + 2*X^2 - 3*X + 1: B := X^2 - 1:

Eucl(A,B);

[4X^2 + 6, -3 X + 7]

2.3 Diviseurs communs de deux polynˆomes

2.3.1 Plus grand commun diviseur

D´efinition.L’ensemble des diviseurs communs de deux polynˆomesAetBnon simultan´ement nuls est l’ensemble

des diviseurs d’un unique polynˆome unitaire appel´e pgcdde A etB, not´e A^B.

Remarque.

Remarque.

Exemple. D´eterminer le pgcd de A etB o`uA2X⁴ 3X³ 4X² 2X 1 etB 3X³ 4X² 4X 1

Solution.

2.3.2 Polynˆomes premiers entre eux

D´efinition. Deux polynˆomesA etB sont dits premiers entre eux si et seulement si leur pgcd est 1.

Remarque.

Th´eor`eme de B´ezout.

Deux polynˆomes Aet B sont premiers entre eux si et seulement s’il existe deux polynˆomes U etV

tels queAU BV 1.

Corollaire (Th´eor`eme de Gauss). Pour A,B etC polynˆomes, A|BC

A^B 1

*

ñA|C

Corollaire. PourA,B etC polynˆomes,

A|C B|C

A^B 1

,.

-ñAB|C

2.4 D´ecomposition des polynˆomes

2.4.1 Polynˆomes irr´eductibles

D´efinition. On dit queP P KrXsestirr´eductiblesi (a) P n’est pas un polynˆome constant

(b) @QP KrXs, Q|P ùñ degpQq 0 ou P etQassoci´es Remarque.

Remarque.

Propri´et´e. SiP P KrXs, P 0, degpPq 1 alors P est irr´eductible. La r´eciproque est fausse dansRrXs.

2.4.2 D´ecomposition d’un polynˆome en produit d’irr´eductibles Th´eor`eme.

Soit P un polynˆome non constant. Alors P se d´ecompose en un produit fini de polynˆomes irr´educ-

tibles

P kP₁P₂ P_n

o`u lesP_i sont irr´eductibles pouriP t1, . . . , nu etkP K.

Remarque.

Exemple. D´ecomposer 2X²6X 4.

Solution.

Manipulationdespolynˆomes 28.1D´eterminerlespolynˆomesPPRrXstelsque: XpX1qP2 pX2qP1 P0 polynomes_43.tex 28.2D´eterminerlespolynˆomesPPCrXstelsque: Pp2XqP1 pXqP2 pXq polynomes_44.tex 28.3Ond´efinitparr´ecurrencelasuitedepolynˆomessuivante: # P01;P1X @n¥1,Pn12XPnPn1 (a)CalculerlespremierspolynˆomesPn(pourn¤5) (b)MontrerquepourtoutnPN,pourtoutxPR,Pnpcosxq cospnxq (c)End´eduirelesracinesdePn. polynomes_11.tex 28.4CalculerpourtoutnPN : pX3 X2 X1q²

n¸ k0p1qk Xk polynomes_65.tex Divisibilit´e,divisioneuclidienne 28.5Montrerque@nPN,X2 |pX1qn nX1polynomes_6.tex 28.6Trouverlesar´eelstelsqueX2 aX1|X4 Xa.polynomes_7.tex 28.7SoitnPN etθPR, Ancospn1qθXn1 cosnθXn cosθX1 BX2 2Xcosθ1 (a)D´emontrerqueAnrXn1 cospn1qθsBAn1@n¥2 (b)D´emontrerqueAnestdivisibleparB.Calculerlequotient. polynomes_8.tex 28.8EffectuerladivisioneuclidiennedeAX8 2X7 12X6 2X5 40X4 109X3 67X2 44X12parBX3 2X2 5X12 polynomes_10.tex Arithm´etique 28.9Donnerlad´ecompositionenirr´eductiblesdansRrXsde: (nPN ) Pn1XXpX1q 2!XpX1qpXn1q n! polynomes_9.tex 28.10D´eterminerpgcdetppcmdeAetBo`u: A2X4 3X3 4X2 2X1 B3X3 4X2 4X1 polynomes_58.tex 28.11D´eterminerpgcdetppcmdeAetBo`u: AX3 X2 X2 BX5 2X4 X2 X2 polynomes_59.tex 28.12SoitAX7 X1etBX5 1.MontrerqueAet Bsontpremiersentreeuxetd´eterminerl’ensembledescouplespU,Vq telsqueAUBV1.polynomes_66.tex 28.13SoitAetBdeuxpolynˆomesnonnuls.MontrerqueAetBne sontpaspremiersentreeuxsietseulements’ilexistedeuxpolynˆomes nonnulsUetVtelsque: $ ' & ' %AUBV0 degU degB degV degA polynomes_67.tex