Lycée : Manzel el habib . Gabes Prof :Medhioub Issam
Le : 06/03/2012
Devoir de Synthèse n°2 Mathématiques
Année scolaire :2011/2012 Niveau : 4ème économie Durée : 2h
Exercice 1 : (4points ) Choisir la réponse exacte ( une seule réponse juste )
1) Soit 𝐴 une matrice carré d’ordre 3 vérifiant 𝐴 × 𝐴 − 2𝐼 = 𝐼 ou 𝐼 la matrice unité d’ordre 3.
𝐴 inversible et son inverse 2𝐼.
𝐴 inversible et son inverse 𝐴 − 2𝐼.
𝐴 n’est pas inversible.
2) Soit 𝑓 une fonction définie et continue sur ℝ , tel que pour tout 𝑥 ∈ ℝ : 𝑓(𝑥) < 0 une fonction primitive 𝐹 de 𝑓 est :
Constante sur ℝ.
Croissante sur ℝ.
Décroissante sur ℝ.
3)
x
x
x
)
lim ln( 0 + ∞ − ∞
4)
x
x e
x
0
lim 0 + ∞ − ∞ Exercice 2 : ( 6 points )
Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par : 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑒𝑥+𝑏 ou 𝑎 et 𝑏 sont deux réels . 1) a)Calculer 𝑓′ 𝑥 .
b) Déterminer 𝑓 0 et 𝑓′ −1 en fonction de 𝑎 et 𝑏.
c) Déterminer alors 𝑎 et 𝑏 sachant que 𝑓 0 = 𝑒 et 𝑓′ −1 = 3 . 2) dans la suite d’exercice on prend 𝑎 = 2 et 𝑏 = 1
a) Montrer que pour tout 𝑥 ∈ ℝ : 𝑓′ 𝑥 = 2 + 𝑒𝑥+1 b) Déterminer les limites suivantes :
) ( lim f x
x et lim f(x)
x
c) Dresser le tableau de variation de 𝑓 d) Calculer
x x f
x
) lim (
et
x x f
x
) lim (
Interpréter les résultats obtenus.
e) Tracer la courbe représentatif 𝐶𝑓 de 𝑓 dans un repère orthonormé (𝑂, 𝑖 , 𝑗 ) (unité 2cm).
Exercice 3 : (6points )
Ondésigne la courbe représentative 𝐶𝑓 d’une fonction 𝑓 définie sur ℝ dans un repère orthonormé (𝑂, 𝑖 , 𝑗 ). Voir figure :
Par une lecture graphique :
1) Déterminer 𝑓 1 , 𝑓 4 , 𝑓′ 1 et 𝑓′ 4 2) Déterminer lim f(x)
x et lim f(x)
x
3) Montrer que l’équation 𝑓 𝑥 = 0 admet une unique solution dont on précisera . 4) Dresser le tableau de variation de 𝑓 .
5) Montrer que 𝐶𝑓 admet une point d’inflexion au point d’abscisse 4 . 6) Déterminer le signe de 𝑓.
7) Soit 𝐹 une primitive de 𝑓 sur ℝ .
Donner les sens des variations de 𝐹 . Exercice 4 : ( 4points)
Soit la fonction 𝐹 définie par 𝐹 𝑥 = 𝑥 𝑙𝑛 𝑥 − 𝑥.
1) Déterminer l’ensemble de définition de 𝐹 .
2) Montrer que 𝐹 dérivable sur 0; +∞ et que 𝐹′ 𝑥 = ln(𝑥).
Soit 𝑓 𝑥 = ln(𝑥)
3) Montrer que la fonction 𝑓 admet une primitive sur 0; +∞ .
4) Déterminer la primitive 𝐺 de la fonction 𝑓 qui prend la valeur 3 en 1 . BON TRAVAIL
