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TS - DM n°7
Exercice n°1 Partie A
On rappelle que la fonction valeur absolue f est définie de la façon suivante :
$f(x)=/va{x}=x "si" x>0$ et $f(x)=/va{x}= -x$ sinon.
On rappelle aussi qu'une fonction est dérivable en a si $/lim{h;0;/f{f(a+h)- f(a);h}}$ existe et est un nombre réel.
On rappelle enfin qu’une fonction est continue si sur un intervalle I, et seulement si, pour tout nombre a de cet intervalle, $/lim{x;a;f(x)}=f(a)$.
1. [1pt : 0.5:l,0.5:concl.] On suppose que a est un réel. Calculer $/lim{x;a;f(x)}$. Que peut-
on en déduire pour la fonction f ?
2. [0.5 pt] Quelle sera la dérivée de f si $x<0$ ?
3. [2 pts : 1/lim] Calculer $/lim{h;0-;/f{f(h)-f(0);h}}$ et $/lim{h;0+;/f{f(h)-f(0);h}}$.
4. [1 pt : 0.5:r,0.5:j] Que peut-on en conclure pour la dérivée de f en 0 ?
Partie B
/iv{/al{-5;5}} /iv{/al{-5;5}}
On donne la fonction suivante :
$g(x)=/va{x²/si{/calc{#2+#4}=0;;-/calc{#2+#4}x}/si{/calc{#2*#4}=0;;+/cal c{#2*#4}}}$.
1. [1 pt : 0.5:p,0.5:v] Sur quel(s) intervalle(s) est-elle définie ? Justifier.
2. [1 pt : 0.5:p,0.5:v] Sur quel(s) intervalle(s) est-elle continue ? Justifier.
3. [2,5 pts : 1.5:j av lim ,1:r] Sur quel(s) intervalle(s) est-elle dérivable ? Justifier.
Exercice n°2
Dans une chambre de 4m sur /t{3;5}m, on a une colonne de forme rectangulaire de
/al{0,5;0,8;1}m sur /al{0,3;0,7;1;#6}m, située dans un coin, qui sert à passer les fils
électriques, canalisations, etc.
On souhaite installer une cloison plane qui cache cette colonne. Mais on veut aussi diminuer le moins possible l'aire de la chambre.
1. Avec un outil numérique, conjecturer la ou les meilleures positions possibles pour la cloison.
2. Démontrer cette conjecture.
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