q = 9₁ • pour n>1 : qn = 9 + 9 * sommei=1...(n-1)(qi

A383. De belles collections de palindromes

Pour répondre aux questions de Zig, utilisons une méthode brutale et calculons la valeur de la somme des palindromes à n chiffres ...

A. Cas des palindromes de longueur paire

Pour n>0, observons qu’un palindrome de longueur 2n est soit :

- constitué d’un palindrome de longueur paire inférieure « en son milieu », encadré d’éventuels 0 en quantité suffisante, puis encadré d’un chiffre compris entre 1 et 9 ;

- égal à x(10^2n-1+1) avec x entier compris entre 1 et 9.

Cette observation permet de déduire la quantité qn de palindromes de longueur 2n :

• q = 9₁

• pour n>1 : qn = 9 + 9 * sommei=1...(n-1)(qi) = 9 * 10^n-1 (démonstration simple par récurrence) La somme Sn des palindromes de longueur 2n peut alors s’écrire en décomposant les palindromes comme observé ci-dessus et vaut :

Sn = 9 * sommei=1...(n-1)(10^n-i * Si) + (10^2n-1+1) * t * (sommei=1...(n-1)(qi) + 1)

• premier terme de l’addition : pour chacun des 9 chiffres encadrant, je somme les valeurs de tous les palindromes de rang inférieur en tenant compte de leur positionnement dans le nombre (ie en multipliant par la bonne puissance de 10),

• deuxième terme : je fais la somme de toutes les valeurs qui se trouvent aux rangs 1 et 2n des palindromes considérés, la somme 1+...+9 = 45 = t se retrouvant autant de fois qu’il existe de palindromes de rang inférieur, plus un pour le palindrome constitué uniquement de 0 en son intérieur.

Soit :

Sn = 9 * sommei=1...(n-1)(10^n-i * Si) + (10^2n-1+1) * t * (9 * sommei=1...(n-1)(10^i-1) + 1) Sn = 9 * sommei=1...(n-1)(10^n-i * Si) + (10^2n-1+1) * t * 10^n-1

L’observation des premières valeurs des Sn laisse facilement conjecturer une expression de cette valeur, en effet :

S = 11*t₁

₂ ₁

S = 9 * 10 * S + 1001 * t * 10 = 990 * t + 10 010 * t = 11 000 * t

₃ ₂ ₁

S = 9 * (10S + 100S ) + 100 001 * t * 100 = 999 900 * t + 10 000 100 * t = 11 000 000 * t donc conjecture : Sn = 495 * 10^3n-3

Démonstration par récurrence forte : OK pour S  ₁; S  ₂; S  ;₃ Pour n>3 :

Sn = 9 * sommei=1...(n-1)(10^n-i * Si) + (10^2n-1+1) * t * 10^n-1

Sn = 9 * sommei=1...(n-1)(10^n-i * 11 * 45 * 10^3i-3) + (10^2n-1+1) * 45 * 10^n-1 Sn = 45 * 9 * sommei=1...(n-1)(11*10^n+2i-3) + (10^2n-1+1) * 45 * 10^n-1 Sn = 45 * 9 * 10^n-3 * sommei=1...(n-1)(11*10²ⁱ) + (10^2n-1+1) * 45 * 10^n-1

Sn = 45 * 9 * 10^n-3 * [sommei=1...(n-1)(10*10²ⁱ)+sommei=1...(n-1)(10²ⁱ)] + (10^2n-1+1) * 45 * 10^n-1 Sn = 45 * 9 * 10^n-3 * [sommei=1...(n-1)(10²ⁱ⁺¹)+sommei=1...(n-1)(10²ⁱ)] + (10^2n-1+1) * 45 * 10^n-1 Sn = 45 * 9 * 10^n-3 * [sommei=2...2n-1(10ⁱ)] + (10^2n-1+1) * 45 * 10^n-1

Sn = 45 * 9 * 10^n-1 * sommei=0...2n-3(10ⁱ) + (10^2n-1+1) * 45 * 10^n-1 Sn = 45 * 10^n-1 * [ 9*sommei=0...2n-3(10ⁱ) + (10^2n-1+1) ]

Sn = 45 * 10^n-1 * [ (10^2n-2- 1) + (10^2n-1+1) ] Sn = 45 * 10^n-1 * [ 10^2n-2 + 10^2n-1 ]

Sn = 45 * 10^n-1 * [ 11 * 10^2n-2 ] Sn = 495 * 10^3n-3

Laborieux mais cqfd !

B. Cas des palindromes de longueur impaire

On peut faire les mêmes observations, un palindrome de longueur 2n+1 est constitué d’un palindrome de longueur impaire et de rang inférieur, encadré de zéros en quantité suffisante, puis de chiffres allant de 1 à 9. Avec les mêmes conventions de notation on a :

• q = 10₀

• pour n>0 : qn = 9 * sommei=0...(n-1)(qi) = 9 * 10ⁿ (démonstration simple par récurrence, en prenant garde à la valeur de q qui n’est pas 9 * 10₀ ⁰ mais 10).

La somme Sn des palindromes de longueur 2n+1 peut alors s’écrire comme pour le cas précédent : S = t₀

Sn = 9 * sommei=0...(n-1)(10^n-i * Si) + (10²ⁿ+1) * t * sommei=0...(n-1)(qi) Soit :

Sn = 9 * sommei=0...(n-1)(10^n-i * Si) + (10²ⁿ+1) * t * 10ⁿ Observons les premières valeurs de Sn :

S = t₀

₁ ₀

S = 9 * 10S + 101 * t * 10 = 1 100 t

₂ ₀ ₁

S = 9 * (100S + 10S ) + 10 001 * t * 100 = 99 900 * t + 1 000 100 * t = 1 100 000 * t On conjecture pour n>0 : Sn = 495 * 10^3n-1

Démonstration par récurrence forte : OK pour S  ₁; S₂

Pour n>1 :

Sn = 9 * sommei=0...(n-1)(10^n-i * Si) + (10²ⁿ+1) * 45 * 10ⁿ

Sn = 9 * [sommei=1...(n-1)(10^n-i * 45 * 11 * 10^3i-1) + 10ⁿ * 45] + (10²ⁿ+1) * 45 * 10ⁿ Sn = 9 * 45 * [sommei=1...(n-1)(10^n+2i-1 * 11) + 10ⁿ ] + (10²ⁿ+1) * 45 * 10ⁿ

Sn = 9 * 45 * 10ⁿ * [sommei=1...(n-1)(10^2i-1 * 11) + 1 ] + (10²ⁿ+1) * 45 * 10ⁿ Sn = 9 * 45 * 10ⁿ * [sommei=1...(2n-2)(10ⁱ) + 1 ] + (10²ⁿ+1) * 45 * 10ⁿ Sn = 9 * 45 * 10ⁿ * sommei=0...(2n-2)(10ⁱ) + (10²ⁿ+1) * 45 * 10ⁿ Sn = 45 * 10ⁿ * (10^2n-1 - 1) + (10²ⁿ+1) * 45 * 10ⁿ

Sn = 45 * 10ⁿ * [ 10^2n-1 – 1 + 10²ⁿ + 1 ] Sn = 45 * 10ⁿ * 11 * 10^2n-1

Sn = 495 * 10^3n-1 cqfd !

C. Conclusion

On a donc le résultat suivant : la somme des palindromes de n chiffres vaut : - 45 si n=1

- pour n pair : 495 * 10^3n/2-3 qui se termine par un nombre de zéros congru à 0 mod 3

- pour n impair >2 : 495 * 10(3n-3)/2-1 qui se termine par un nombre de zéros congru à 2 mod 3 On peut alors répondre à Zig :

• Q1 : la somme qui se termine par 17 zéros correspond à n impair (car 17≡2(3)) et vaut 495.10¹⁷ et on déduit n=13 ;

• Q2 : quelle que soit la valeur de n>1 la somme des chiffres des sommes de palindromes est évidemment constante égale à 4+9+5 = 18

• Q3 : compte tenu des congruences, les sommes de palindrome peuvent se terminer par 2019 (n=1348) ou 2021 (n=1349) mais pas 2020 zéros.