TS (spécialité) Correction 72 p 534 2012-2013
1. U0= 0 1
!
. On noteAn:« réverbère allumé au journ» etAn l’événement contraire (réverbère éteint).
b b
An
pn
b An+1
0,25
b An+1
0,75
b
An
qn
b An+1
0,75
b An+1
0,25
(a) p1= 0,75 et p2=p(A2) =p(A1)pA1(A2) +p(A1)pA
1(A2) = 0,25×0,75 + 0,75×0,25 = 0,375.
(b) pn+1=p(An+1) =p(An)pAn(An+1) +p(An)pA
n(An+1) =pn×0,25 +qn×0,75.
On a de même p(An+1) =qn+1= 0,75pn+ 0,25qn
(c) n>0. Les relations précédentes se traduisent matriciellement par : pn+1
qn+1
!
= 0,25 0,75 0,75 0,25
! pn
qn
!
⇔Un+1=AUn oùA= 0,25 0,75 0,75 0,25
! . 2. (a) Pour tout entiern, Un=AnU0. Voir cours pour la démonstration par récurrence.
http://www.mimaths.net/IMG/pdf/complement2_spe_1213.pdf
(b) Coefficients arrondis à 10−4, 10−7 puis capacité machine dépassée.U10=A10U0= 0,4995 0,5005
! ,
puisU20= 0,4999995 0.5000005
!
et U50= 0,5 0,5
!
3. U = 0,5 0,5
! .
(a) AU =U doncU vérifieAX=X. (b) La matrice 1
1
!
vérifie aussi la relation donc U n’est pas la seule. D’une manière générale, toute matrice
de la forme λ λ
!
, avecλnon nul, est solution deAX=X.
4. D= 1 0 0 −0,5
!
et P= 1 1 1 −1
! .
(a) Soit Q= 0,5 0,5 0,5 −0,5
!
. On vérifie queP Q=I2doncP est inversible etQ=P−1. (b) P DP−1=A. Vérification à la calculatrice.
(c) Pour toutn∈N,An=P DnP−1(démonstration dans le cours référencé plus haut) et par suite : Un=AnU0⇔Un =P DnP−1U0⇔Un= 0,5 + (−0,5)n+1
0,5−(−0,5)n+1
!
5. Comme −1 < −0,5 < 1, la suite ((−0,5)n) tend vers 0 et on peut écrire, compte-tenu de la définition de la limite d’une suite de matrices que (Un) tend versU lorsquentend vers +∞.
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