Enonc´e noA531 (Diophante) Un m´eli-m´elo de carr´es et de cubes
Existe-t-il 2009 entiers positifs tous distincts tels que la somme de leurs carr´es est un cube et la somme de leurs cubes est un carr´e ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je prends les n= 2009 entiers dans une progression g´eom´etrique. Celle-ci a pour raison un rationnel, p/q sous forme de fraction irr´eductible, et les n entiers sontxk=apk−1qn−k pourk= 1 `an, avec aentier.
La somme des carr´es estS2 =a2(pn−qn)(pn+qn)/(p2−q2).
Je me place dans le cas o`unest impair, pour poser d= (pn−qn)/(p−q), e= (pn+qn)/(p+q), det e´etant entiers, impairs et premiers entre eux car p/q est irr´eductible.
S2=a2de=a3(de/a) devant ˆetre un cube,a/(de) est le cube d’un ration- nel, soit b3.
La somme des cubes est S3 =a3(pn−qn)(p2n+pnqn+q2n)/(p3−q3).
Je me place dans le cas o`u n est non multiple de 3, pour poser f = (p2n+pnqn+q2n)/(p2+pq+q2), en sorte que S3=a3df.
Commea=b3de,S3=b9d4e3f = (b5d2e)2(ef /b) doit ˆetre un carr´e,b/(ef) est le carr´e d’un rationnel, soitc2.
Ainsi b=c2ef,a=c6de4f3,S2 = (c4de3f2)3,S3 = (c9d2e6f5)2.
On peut prendre c= 1 pour obtenir a entier. Alors, `a partir du choix de la raison p/q qui d´etermined, e, f, les nentiers sont donn´es par
xk=de4f3pk−1qn−k.
Avec quelques adaptations, cette construction vaut aussi pour les cas n pair et/ou nmultiple de 3.
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