A531. Un méli-mélo de carrés et de cubes
Existe-t-il 2009 entiers positifs tous distincts tels que la somme de leurs carrés est un cube et la somme de leurs cubes est un carré ?
Plus généralement étudions le cas de n entiers distincts. A partir d’un ensemble de n entiers distincts quelconques ai pour 1≤i≤n, on peut définir la somme u de leurs carrés, et v de leurs cubes: u=∑ai2, v=∑ai3; on remarque alors que les nombres bi=uai, et ci=vai sont tels que ∑bi2=u3 et ∑ci3=v4=(v2)2. En combinant ces propriétés, considérons alors les nombres di=u4v3ai : nous avons ∑di2=u9v6=(u3v2)3 , et
∑di3=u12v10=(u6v5)2: les nombres di répondent donc au problème.