A 553 Antoine Verroken
1. Pn + 1 = A^2
Pn est pair et multiple de 2 A est impair
Pn = (A - 1 ) * ( A + 1 ) ( A - 1 ) et ( A + 1 ) pairs ( A - 1 )* ( A + 1 ) multiple de 4 : impossible.
2. Qn^2 + 1 = A^3
Qn^2 = ( A - 1 ) * ( A^2 + A + 1 ) A^2 + A + 1 est irréducible
A - 1 = A^2 + A + 1 --> A^2 = -2 impossible 3. Pn > pn+1 ^2
- d'après Bertrand il y a toujours un nombre premier entre pn et 2*pn --> pn+1 < 2*pn -->
pn+1 minimum égal à pn + 2 et maximum 2*pn - 1
- n Pn pn+1^2 ( 2*pn - 1 )^2
1 2 9 9
2 6 25 25
3 30 49 81
4 210 121 169
donc à partir de p = 7 Pn > pn+1^2 et Pn > ( 2* pn - 1 )^2
- il suffit de prouver que Pn augmente plus rapidement que ( 2*pn - 1 )^2
Pn+1 / Pn = pn+1 > ( ( 2*pn+1 - 1 ) / pn+1 )^2 (1) poser pn+1 = x
(1) --> x^3 - 4*x^2 +4*x - 1 = x * ( x^2 - 4*x + 4 - 1/x ) > 0
ou x^2 - 4*x + 4 - 1/x > 0 (2)
(2) est minimum pour 1/2 --> x = 2 + - sqrt( 0.5 )
comme le coëfficient de x^2 est positif la valeur de (2) est positive en dehors des raci- nes de (2) --> Pn > pn+1 ^2
