A 407 Antoine Verroken Le nombre de fois qu’on obtient ‘n’ comme entier par défaut (EPD) des
- racines carrées (C) est donné par [(n+1)²-1-n²+1 ] = 2*n + 1 (0) - racines cubiques (Cu) par [(n+1)³-1-n³+1 ] = 3*n²+3*n+1 (00) on obtient les series :
C 11122222333333344…
Cu 1111111222222222222222222233…
ou
C 3*1 5*2 7*3 9*4 11*5 13*6…
Cu 7*1 19*2 37*3 61*4 91*5 127*6 …
ou C 3 10 21 36 55 78 (1)
Cu 7 38 111 244 455 762 (2)
La somme (S) des termes de(1) et (2)
n 1 2 3 4 5 6
SC 3 13 34 70 125 203 (3)
SCu 7 45 156 400 855 1617 (4)
on détermine les formules de (3) et (4) :
(3) n 1 2 3 4 5 6
SC 3 13 34 70 125 203
10 21 36 55 78 11 15 19 23 4 4 4
0 0
ou SC = a*n³ + b*n² + c*n + d a=2/3 b = 3/2 c = 5/6 d = 0
(3) 1/6 * n * ( 4*n + 5 ) * ( n + 1) (5)
(4) 1/4 * n * ( 3*n + 4 ) * ( n + 1 )² (6)
Nombre de lignes (L)
n 1 2 3 4 5 6
LC 3 8 15 24 35 46 n² + 2*n (7)
LCu 7 26 63 124 215 312 n³+3*n²+3*n (8)
Q1
si SC (3) varie entre 3 et 13 , SCu (4) doit varier entre 5*3=15 et 5*13=65 et si LC (7) varie entre 3 et 8 , LCu (8) doit varier entre 5*3=15 et 5*8=40
on a à résoudre :
SC 0 – 3 5*(0 + 1*a) = 0 + 1*b L 5*(0 + a)=0 + b ) (0)(00) a=<3 b=< 7 Solution : SC 5*a = b L 5*a = b a = 1 b = 5
SC/SCu = 1/5 LC/LCu = 1/5 m = 1
SC 3 – 13 5*(3 + 2*a ) = 7 + 2*b L 5*(3 + a ) = 7 + b a=<5 b =< 19 impos.
5*(3 + 2*a ) = 45 + 3*b L 5*(3 + a ) = 26 + b a =<5 b =< 37 impos.
SC 13 – 34 5*(13 + 3*a ) = 45 + 3*b L 5*(8 + a ) = 26 + b a=<7 b =< 37 impos.
5*(13 + 3*a ) = 156 + 4*b L 5*(8 + a ) = 63 + b a=<7 b =< 61 impos.
SC 34 – 70 5*(34 + 4*a ) = 156 + 4*b L 5*(15 + a ) = 156 + b a=<9 b =< 61 impos.
SC 70 – 125 5*(70 + 5*a ) = 156 + 4*b L 5*(24 + a ) = 156 + b a=<11 b =< 61 impos.
5*(70 + 5*a ) = 400 + 5*b L 5*(24 + a ) = 400 + b a=<11 b =< 91 impos.
SC 125 – 203 5*(125 + 6*a ) = 400 + 5*b L 5*(35 + a ) = 124 + b a=<13 b =< 91 5*(125 + 6*a ) = 400 + 5*b 45 = b – 6*a
par fraction continue on obtient a = 45 + d b = 315 + 6*d comme a =< 13 et b=<91 d = - 39 a = 6 b = 81 SC 125 + 6*6 = 161 400 + 5*81 = 805 805 / 161 = 5 L 35 + 6 = 41 124 + 81 = 205 205 / 41 = 5
m = 41
Q 2 formules générales :
1. SC. n = E(m^(1/2)) – 1 (7) n² + 2*n SC = 1/6*n*(4*n+5)*(n+1) + (n+1)*(m-n²-2*n) = (n+1)*m – ( 2*n³ + 9*n² + 7*n)/6
(2*n³ + 9*n² + 7*n)/6 est un multiple de m , si n = 2 + 6*t t arbitraire SC = m*a si a = 2 + 4*t
m 1 2 3 11 25 92 245 470 767 SC 1 2 3 22 75 552 2450 6580 13806 SC/m 1 1 1 2 3 6 10 14 18
E(m^(1/3)) 1 1 1 3 5 9 15 21 27
n 0 0 0 2 4 8 14 20 26 m = ( 72*t³ + 126*t² + 67*t + 11 ) / 3/t 2. Cu n = E(m^(1/3)) – 1 (8) n³ + 3*n² + 3*n
SCu = ¼*(3*n+4)*(n+1)² + (n+1)*(m-n³ - 3*n² - 3*n) = (n+1)*m – ( n^4 + 6*n³ + 13*n² +8*n )/4
(n^4 + 6*n³ +13*n² + 8*n ) /4 est un multiple de m si n = 3 + 4*t t arbitraire
SCu = m*a si a = 3 + 3*t
m 1 2 3 4 5 6 7 33 96 644 1005 2024 4620 8816 SCu 1 2 3 4 5 6 7 66 288 3864 7035 18216 55440 132240 SCu/m 1 1 1 1 1 1 1 2 3 6 7 9 12 15 E(m^(1/3)) 1 1 1 1 1 1 1 3 4 8 10 12 16 20 n 0 0 0 0 0 0 0 2 3 7 9 11 15 19
m = ( 64*t^4 + 288*t³ + 484*t² + 356*t + 96 ) / ( 1 + t )
