A.384 Antoine Verroken
Q1. Factorization de p*n , q*n et n a les mêmes nombres premiers : a. p = 20 = 2² * 5 q = 81 = 3^4 n = 2^a * 3^b * 5^c
p * n = 2² * 5 * 2^a * 3^b * 5^c = 2^( a + 2 ) * 3^b * 5^( c + 1 ) q * n = 3^4 * 2^a * 3^b * 5^c = 2^a * 3^( b + 4 ) * 5^c
nombre diviseurs p*n = ( a + 3 ) * ( b + 1 ) * ( c + 2 ) q*n = ( a + 1 ) * ( b + 5 ) * ( c + 1 )
nb. div. p*n = nb. div. q*n
( a + 3 ) * ( b + 1 ) * ( c + 2 ) = ( a + 1) * ( b + 5 ) * ( c + 1 ) a = 3 b = 1 c = 0 n = 2³ * 3 p*n = 2^5 * 3 * 5
q*n = 2³ * 3^5 nb.div. p*n = 24 q*n = 24
b. p = 1610 = 2 * 5 * 7 * 23 q = 2019 = 3 * 673 n = 2^a * 3^b *5^c * 7^d * 23^e * 673^f p * n = 2*5*7*23*2^a*3^b*5^c*7^d*23^e*673^f = 2^(a+1)*3^b*5^(c+1)*7^(d+1)*
23^(e+1)*673^f
q * n = 3*673*2^a*3^b*5^c*7^d*23^e*673^f = 2^a*3^(b+1)*5^c*7^d*23^e*
673^(f+1)
nombre diviseurs p*n = (a+2)*(b+1)*(c+2)*(d+2)*(e+2)*(f+1) q*n = (a+1)*(b+2)*(c+1)*(d+1)*(e+1)*(f+2)
nb. div. p * n = nb. div. q * n
a = 2 b =0 c = 2 d = 1 e = 1 f = 0
p*n = 2³ * 5³ * 7² * 23²
q*n = 2² * 3 * 5² * 7 * 23 *673
nb. div. p*n = 144 q*n = 144
c. p = 1961 = 37 * 53 q = 84323 = 37 * 43 * 53 n = 37^a * 43^b * 53^ c p*n = 37^(a+1)*53^(c+1)*43^b q*n = 37^(a+1)*43^(b+1)*53^(c+1)
nb.div. p*n = (a+2)*(c+2)*(b+1) q*n = (a+2)*(b+2)*(c+2)
b + 1 = b + 2 impossible
Q2. Si 2019 est un multiple de k , ou k est un multiple de 2019 il n’y a pas d’égalisateur n > 0
k 2019
1 2019
3 2019
673 2019
4038 2019
6057 2019
8076 2019 nombre d’entiers k = 6
avec n’importe quel entier k , distinct de Q2 ,on peut appliquer la règle de la Q1 qui mène à une function qui est solvable en nombre entiers :
exp. k = 270 = 2 * 3³ * 5 2019 = 3 * 673 n = 2^a * 3^b * 5^c * 673^d 270*n = 2^(a+1) * 3^(b+3) * 5^(c+1) * 673^d
2019*, = 2^a * 3^(b+1) * 5^c * 673^(d+1)
nbr. diviseurs (a+2) * (b+4) * (c+2) * (d+1) = (a+1) * (b+2) * (c+1) * (d+2) solution : a = 2 b = 50 c = 11 d = 1
n = 94364325335276717834839370507812500 nbr. div. de 270*n = 2019*n = 5616
