A 424 Antoine Verroken 1. A entier positif inférieur à 2015
a² + b³ = A a <= 44 , b <= 12 (1)
b³ : 1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000,1331,1728 (2)
les cubes 1,64,729 sont aussi des carrés
(1) a² + c² = A , avec c = 1,64,729 et comme A s’écrit de différentes manières on a
a² + 1 = d² + 64 = f² + 729 (3)
(3) a² + 1 = d² + 64 ( a – d ) * ( a + d ) = 63 a² + 1 = f² + 729 ( a – f ) * ( a + f ) = 728
d² + 64 = f² + 729 ( d – f ) * ( d + f ) = 665 (4)
solutions de (4) A = 1090 1025 793 730 145
65 (5)
(1)(2)(5) on trouve que seul A = 1025 s’écrit de 4 manières différentes
32² + 1² = 32² + 1³ = 1025 31² + 8² = 31² + 4³ = 1025 30² + 5³ = 1025 5² + 10³ = 1025
2. Si la somme de 2 fractions rationelles positives irréducibles est un entier , les dénominateurs des 2 fractions sont identiques :
(a/b)² + (c/d)³ = 1025 (a,b) = 1 (c,d) = 1
b d b² = d³ a c
1 1 1
8 4 64
27 9 729 485 80
64 16 4096
125 25 15625 2697 206
216 36 46656
343 49 117649
512 64 262144 8865 575
729 81 531441
1000 100 1000000
1331 121 1771561 45 1220
