A 378 Antoine Verroken
Q1 Divisibilité d’un élément , de l’ensemble E des entiers de neuf chiffres distincts sans zéro , par 37.
1. Diviser le nombre en groupes de 3 chiffres de droite à gauche.
2. On prouve que ,si la somme des 3 groupes est divisible par 37 , l’élément est divisible par 37.
3. Déterminer un élément (m) de E divisible par 37 - Supposer que le premier groupe soit égal à 125
groupe 2 = 100*a + 10*b +c groupe 3 = 100*d + 10*e + f chiffres libres 3,4,6,7,8,9 100*( a + d ) + 10*( b + e ) + c + f = 37 * x
multiple de 37 x se termine par 7 1 4 2 . .
c+f = 7 c = 9 f = 8 chiffres libres 3,4,6,7 permutation 4! = 24
m : 125349678 somme des groupes 1152153 pas divisible par 37 .
125439768 somme des groupes 1332 333 multiple de 37 .
125739468 somme 333
chaque élément divisible par 37 donne par permutation des groupes 3! = 6 éléments divisibles par 37 il est necessaire de trouver 1200/6 = 200 beaux entiers.
parmi les 9! = 362880 éléments de E on trouve les 200 beaux entiers.
Q2. 1001
Si la somme du premier groupe et du troisième groupe est égal au deuxième groupe l’élément est divisibile par 1001.
Déterminer un élément de E divisible par 1001 Supposer que le premier groupe soit 129
groupe 2 : 100*a + 10*b +c groupe 3 : 100*d + 10*e + f chiffres libres : 3,4,5,6,7,8 129 = 100*( a – d ) + 10*( b – e ) + c – f
a – d = 1 b – 2 = 2 ou 3 c – f = 9
possib. 8 – 7 8 – 5 7 – 8
7 – 6 7 – 4 6 - 7
. . .
c-f = 7 – 8 b-e = 6 – 3 a -d = 5 – 4
élément 129567438 et par permutation (2!) 438567129
parmi les 362880 éléments de E on trouve les 320/2 = 160 entiers superbes
Q3. entier magnifique : 987654231 divisible par 109739359 nombre premier
