A 479 Antoine Verroken Côtés A,B,C entiers et 0 <= A =< B =< C
Angles a,b,c en progression arithmétique
- a = b – g c = b + g a + b + c = 180° b = 60°
- loi cosines : B² = A² + C² - A*C
C = ( A + sqrt( 4*B² - 3*A² )) / 2
4*B² - 3*A² = D²
Lagrange ( cfr. Dickson ) :
l,m,n € Z + ( m,n) = 1
A = l*m*n B = l * ( 3*m² + n² ) / 4 D = l * | 3*m² - n² | / 2
C = l * ( 2*m*n + | 3*m² - n² | ) / 4 (1)
C >= B n =< m ou n >= 3*m (2)
B >= A puisque ( 3*m² + n²) / 4 >= m*n (3)
- A,B,C entiers l multiple de 4 , à moins que ( 3*m² + n² ) = 0 (mod. 4)
- puisque b = 60° on est à même de déterminer a et c.
Q1.
A B C a b c m n l
8 13 15 32,2.. 60 87,7.. 2 1 4
3 7 8 21,7.. 60 98,2.. 3 1 1
4 16 49 16,4.. 60 103.5.. 4 1 4
Q2. (1) suivant Lagrange avec l,m,n € Z+ et ( m,n ) = 1 on peut déterminer une infinité de triangles avec A,B,C ( cfr. (2) )
Q.3. 1. n = m A = l*m² B = l*(3*m²+m²)/4 = l*m² C = l*(2*m² + 2*m²)/4 = l*m²
n= 3*m A = 3*l*m² B = 3*l*m² C = 3*l*m²
A / C = 1
2 m = 1001 n = 1000 l = 1000
A = 1001000000 B = 1001500750 C = 1002000750 C / A = 1.000999… C/B = 1.000499..
a = 59,5..° b = 60° c = 60,4..°
