A.364 Antoine Verroken
Q.1.
1. n représentation décimale de l’entier positif n N représentation de n en binaire
f(n) miroir de n ( représentation décimale) f(N) représentation binaire de f(n)
Rn nombre binaire à m ( nombre chiffres de N ) chiffres 1 m nombre chiffres de N
N + f(N) = Rn
2^m – 1 représentation décimale de Rn ( somme des puissances 2^x,x=0..(m-1)) n + f(n) = 2^m – 1 n = k * f(n)
n pair f(n) impair k pair
n impair f(n) pair k n’est pas un nombre entier k est un nombre pair
2. n + f(n) = 2^m – 1 n = k * f(n)
f(n) * ( k + 1 ) = 2^m – 1 f(n) impair (cfr 1 ) ( k + 1 ) impair il existe une infinité d’entiers n tells que n = k * f(n).
3. k = 24
f(n) * 25 = 2^m – 1 2^m = 1 ( mod. 25 ) 2^m = 1 ( mod. 5 ) Fermat m = 4 * p
m = 20 2^20 – 1 = 1.048.575
f(n) = 1.048.575 / 25 = 41943 f(N) = 10100011110111
N = 111101011100001000 n = 1.006.632
k = 2016 f(n) * 2017 = 2^m – 1 2^m = 1 ( mod. 2017 ) 2017 nombre premier Fermat m = 2016*p
f(n) = ( 2^2016 – 1) / 2017 Q.2.
1.a. on determine les limites de n qui correspondent au chiffre m ( nombre de chiffres de N )
dans f(n) = 2^m – 1 – n m
1 1 =< N =< 1 1 =< n =< 1 2 10 =< N =< 11 2 =< n =< 3 3 100 =< N =< 111 4 =< n =< 7 4 1000 =< N =< 1111 8 =< n =< 15 5 10000 =< N =< 11111 16=< n =< 31
b. la somme des f(n) des zones 1 à m (qui contiennent pas n ) est égale à
( 2^( m – 1 ) – 1 ) * ( 2^m – 1 ) / 3 (1)
c. on détermine la zone m de n avec ces limites p > q p – n = 2^m – 1 – n
p - q = 2^m – 1 – 2^(m-1)
la somme des f(n) dans cette zone est égale à
½ * ( 2^(m ) * ( 4*n + 5 – 3*2^(m ) – n² - 3*n – 2 ) (2)
(1) + (2) donnent la somme (S) totale des f(n)
S = 1/6 * ( -3*n^2 – n * ( 9 – 12*2^m ) + 4* ( 3*2^m – 2^(2*m+1) – 1))
comme ,dans ce cas ci , m = floor(ln(n)/ln(2))
S = 1/6*(-3*n² - n*(9 – 12.2^fl(ln(n)/ln(2)) + 4*(3*2^fl(ln(n)/ln(2)) –
2^(2*fl(ln(n)/ln(2)+1) – 1) (3)
n S
1 0
2 1
3 1
4 4
10 25
17 64
20 100
2.
S(n)= ( 1 + n ) * n/2 S = (3) S(n) = 3*S
n S(n) S S(n)/S
2 3 1 3
6 21 7 3
14 105 35 3
30 465 155 3
n = 2^(m+1) - 2
