A 444 Antoine Verroken
Q1. a² + b² + 1 = A*a*b 1. Première solution :
a = ( A*b +- sqrt( b² * ( A² - 4) – 4)) / 2
b² * ( A² - 4 ) – 4 = B² B² - b² * ( A² - 4 ) = - 4 (1) (1) équation Pell
(1) est soluble si B² - b² * ( A² - 4 ) = -1 est soluble (2) (2) est soluble si la factorisation de ( A² - 4 ) contient que des nombres premiers
de la forme 4*n + 1
- A impair = 2*n + 1 A² - 4 = 4*n² + 4*n – 3 = ( 2*n + 3 ) * ( 2*n – 1 )
A n A² - 4
3 1 5
5 2 21
7 3 45
seulement n = 1 donne une factorisation de ( A² - 4 ) avec des nombres premiers de la forme 4*n + 1
A = 3
- A pair : (2) n’a pas de solution
nombre d’enfants : 3 2. Deuxième solution :
- a² + b² + 1 = A*a*b (3)
est une equation Hurwitz a1² + a2² + … + an² = p * a1*a2*..*an qui n’a pas de solution si p > n.
- solutions possibles A = 1 , 2 , 3
- a/b + b/a + 1/a/b = A a/b + b/a > 2 (a,b distincts )
nombre d’enfants : 3
Q2. a² + b² + c² = A*a*b*c est une equation Hurwitz-Markov ( cfr. Q1. 2. ) qui possède les solutions A = 1 , 2 ou 3
A = 1 a b c
3 6 15
39 87 102
* * * cfr. A086326 nombre d’enfants : 1
A = 2 mène à une contradiction ( cfr Close : l’équation Hurwitz )
A = 3 a b c
1 2 5
13 29 34
* * * cfr A0002559
nombre d’enfants : 3
