A 476 Antoine Verroken 2010 * x^2 + x = 2011 * y^2 + y
2010*x^2 + x – 2011*y^2 – y = 0
(1) x = ( -1 +- sqrt( 1 + 4 * 2010 * ( 2011 * y^2 + y ) ) ) / 4020 puisque x est un entier
(2) 16.168.440 * y^2 + 8040 * y + 1 – C = 0 ( C nombre carré )
(3) y = ( - 4020 +- sqrt( 16.160.400 – 16.168.440 * ( 1 – C ) ) ) / 16.168.440 puisque y est un entier
(4) S – 16.168.440 * C = - 8040 ( S nombre carré ) équation Pell Afin de résoudre (4) il faut successivement trouver les solutions de : (5) S – 16.168.440 * C = 1
(6) S – 16.168.440 * C = - 8040 par la méthode des fractions continues :
les convergents de 16.168.440 : 4020 , 4021 , 324253343 / 8064 d’oú pour (5) S = 4021^2 C = 1^2 t = 4021 q = 1
(6) S = 4020^2 C = 1^2 r = 4020 s = 1 Selon A.Holm on obtient toutes les solutions de (6) par la formule :
w – v * sqrt(D) = +- ( t – q * sqrt(D) ) * ( r – s * sqrt(D))^n D = 16.168.440 n = 0 , +- 1 , 2 , …
w = sqrt(S) v = sqrt(C)
n = 1 32.332.860 - 8041
n = 2 260.020.856.100 - 64.665.721 n = 3 2.091.087.692.423.340 - 520.041.720.241 les valeurs de w dans (3) donnent y , et (1) donne x
y x p^2
- 2 2 2^2
16082 16086 2^2
- 129.331.444 129.363.612 16084^2
