Analyse qualitative des systèmes différentiels

(1)

Analyse qualitative des syst` emes diff´ erentiels

Y. Privat

ENS Cachan, antenne de Bretagne

septembre 2012

Y. Privat (ENS Cachan) Syst`emes diff´erentiels septembre 2012 1 / 50

(2)

Plan de l’expos´ e

1 Deux problèmes modèles Le modèle proie-prédateur Le pendule inversé

2 Analyse qualitative des systèmes différentiels Existence et conséquences

Stabilit´e des syst`emes

3 Une brève introduction à la commande de systèmes Commandabilité, observabilité - cas linéaire

(3)

Un peu de bibliographie (non exhaustive)

Stabilité et Commande des Systèmes Dynamiques. Cours et exercices corrigés.

Fr´ed´eric Jean.

Coll. Les Cours, Les Presses de l’ENSTA, 200 pages, nov 2011

Analyse numérique et équations différentielles, Manuel pour le Second Cycle de Mathématiques.

Jean-Pierre Demailly.

Presses Universitaires de Grenoble, 1e ´edition sept. 1991, 2e ´ed. sept.

1996, 3e ´ed. f´ev. 2006, 344 pages.

(4)

Quelques mots clefs

systèmes différentiels modèle proie-prédateur théorème de Cauchy-Lipschitz point d’équilibre

stabilit´e / stabilit´e asymptotique fonction de Lyapunov

commande des syst`emes stabilisation, pendule invers´e

(5)

Deux problèmes modèles Le modèle proie-prédateur

Le mod` ele proie-pr´ edateur (I)

1êr modèle de ce type introduit par le mathématicien italien Vito Volterra au début des années 20.

But : expliquer le phénomène suivant, observé à l’époque par le bureau de la pêche italienne de Trieste :

pendant la 1^`êre guerre mondiale, période où la pêche était très réduite, la proportion de requins et autres prédateurs impropres à la consommation qu’on attrapait était nettement supérieure à ce qu’elle était avant-guerre, et

`

a ce qu’elle redevint ensuite.

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Le mod` ele proie-pr´ edateur (I)

1êr modèle de ce type introduit par le mathématicien italien Vito Volterra au début des années 20.

But : expliquer le phénomène suivant, observé à l’époque par le bureau de la pêche italienne de Trieste :pendant la 1^`êre guerre mondiale, période où la pêche était très réduite, la proportion de requins et autres prédateurs impropres à la consommation qu’on attrapait était nettement supérieure à ce qu’elle était avant-guerre, et

`

a ce qu’elle redevint ensuite.

(7)

Le mod` ele proie-pr´ edateur (II)

Formalisation math´ematique

Le mod`ele de Volterra se veut tr`es simple.

x(t) :nombre de proies (i.e. poissons comestibles) y(t) : nombre de pr´edateurs (i.e. requins et autres)

Hypoth`eses du mod`ele

,→ La population des proies n’est limit´ee que par les pr´edateurs et croˆıt exponentiellement en leur absence

,→ La population des prédateurs est totalement dépendante des proies et en leur absence, décroˆıt exponentiellement

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Le mod` ele proie-pr´ edateur (II)

Le mod`ele de Volterra se veut tr`es simple.

x(t) :nombre de proies (i.e. poissons comestibles) y(t) : nombre de pr´edateurs (i.e. requins et autres)

Hypoth`eses du mod`ele

,→ La population des proies n’est limit´ee que par les pr´edateurs et croˆıt exponentiellement en leur absence

,→ La population des prédateurs est totalement dépendante des proies et en leur absence, décroˆıt exponentiellement

(9)

Le mod` ele proie-pr´ edateur (III)

Cons´equences En l’absence d’interaction,

dx

dt(t) =ax(t) et dy

dt(t) =−cy(t) aveca>0 et c >0.

Chaque rencontre entre proie et pr´edateur est bonne pour le pr´edateur et mauvaise pour la proie. On supposele nombre de rencontres proportionnel au produit x(t)y(t).

Le mod`ele de Lotka-Volterra







x⁰(t) =ax(t)−bx(t)y(t) y⁰(t) =−cy(t) +fx(t)y(t) x(t₀) =x₀ ety(t₀) =y₀, avec a,b,c et f strictement positives et connues.

(10)

Le mod` ele proie-pr´ edateur (III)

Cons´equences En l’absence d’interaction,

dx

dt(t) =ax(t) et dy

dt(t) =−cy(t) aveca>0 et c >0.

Chaque rencontre entre proie et pr´edateur est bonne pour le pr´edateur et mauvaise pour la proie. On supposele nombre de rencontres proportionnel au produit x(t)y(t).

Le mod`ele de Lotka-Volterra







x⁰(t) =ax(t)−bx(t)y(t) y⁰(t) =−cy(t) +fx(t)y(t) x(t₀) =x₀ ety(t₀) =y₀, avec a,b,c etf strictement positives et connues.

(11)

Le mod` ele proie-pr´ edateur (IV)

Analyse qualitative de ce syst`eme biologique

,→ Quelle est l’´evolution des populations, dex(t) ety(t) ? ,→ Existence d’un ´equilibre ?

,→ Vitesse de convergence vers l’´equilibre ?

,→ Pourquoi la pˆeche influence-t-elle le nombre de pr´edateurs ?

(12)

Deux problèmes modèles Le pendule inversé

Le pendule invers´ e (I)

θ

b

m

ℓ

0

u

Stabilisation d’un pendule unidimensionnel autour de son

´

equilibre instable (balai dans un plan pos´e sur le

manche)

u est la commande (loi d’action sur le pendule) : d´eplacement du point de contact le long d’une droite.

(13)

Le pendule invers´ e (II)

Choix de la commandeu

u est l’acc´el´eration du point de contact entre le pendule et la droite.

Dynamique du pendule d²θ

dt² = g

` sinθ− 1

`²u, o`uθ est l’angle entre le balai et la verticale.

,→ Si u= 0, θ¯= 0 est un ´equilibreinstable.

(14)

Le pendule invers´ e (II)

Choix de la commandeu

u est l’acc´el´eration du point de contact entre le pendule et la droite.

Dynamique du pendule d²θ

dt² = g

` sinθ− 1

`²u, o`uθ est l’angle entre le balai et la verticale.

,→ Si u= 0, θ¯= 0 est un ´equilibreinstable.

(15)

Le pendule invers´ e (III)

Portrait de phase de l’´equation θ¨=ksinθ

L’´equilibre ¯θ= 0 est instable

,→ On se donne les moyens d’agir sur le système “pendule” à l’aide d’une loi de commande u. Peut-on stabiliser ce système autour de sa position d’équilibre ?

(16)

Le pendule invers´ e (III)

Portrait de phase de l’´equation θ¨=ksinθ

L’´equilibre ¯θ= 0 est instable

,→ On se donne les moyens d’agir sur le système “pendule” à l’aide d’une loi de commande u. Peut-on stabiliser ce système autour de sa position d’équilibre ?

(17)

Analyse qualitative des syst`emes diff´erentiels

Outils d’analyse qualitative des syst` emes

(18)

Analyse qualitative des systèmes différentiels Existence et conséquences

Th´ eorie de l’existence pour les syst` emes diff´ erentiels

Intéressons-nous à des systèmes (autonomes) de la forme x⁰(t) =f(x(t)).

Dans cette formulation, les donn´ees sont un ensemble ouvert Ω⊂R^N

une application continue f : Ω→R^N.

Théorème de Cauchy-Lipschitz (version simplifiée)

Supposons f de classe C¹ sur Ω. Alors, pour tout pointx0∈Ω et tout t0 ∈R, il existe δ >0 tel que le probl`eme de Cauchy

x⁰(t) =f(x(t)) x(t0) =x0

possède une unique solution définie sur ]t0−δ,t0+δ[. ,→ se généralise à des fonctions f localement lipschitziennes.

(19)

Th´ eorie de l’existence pour les syst` emes diff´ erentiels

Intéressons-nous à des systèmes (autonomes) de la forme x⁰(t) =f(x(t)).

Dans cette formulation, les donn´ees sont un ensemble ouvert Ω⊂R^N

une application continue f : Ω→R^N.

Théorème de Cauchy-Lipschitz (version simplifiée)

Supposons f de classe C¹ sur Ω. Alors, pour tout pointx0∈Ω et tout t0 ∈R, il existe δ >0 tel que le probl`eme de Cauchy

x⁰(t) =f(x(t)) x(t0) =x0

poss`ede une unique solution d´efinie sur ]t0−δ,t0+δ[.

,→ se généralise à des fonctions f localement lipschitziennes.

(20)

Quelques cons´ equences de ce th´ eor` eme

Supposons f de classe C¹ sur Ω. Alors,

,→ Pour toute donn´ee initiale (t0,x0)∈R×Ω,il existe une unique solution maximale (I,x(·)).

,→ Dur´ee de vie, principe de majorationa priori Proposition

Soit x(·) :]t−,t+[→Ω, une solution maximale du système précédent. Alors, si t+<+∞,x(t) sort de tout compact contenu dans Ω, c’est-à-dire que pour tout compact K ⊂Ω, il existe un temps t_K ∈]t₋,t₊[ tel que x(tK)∈/ K.

Conséquence :si toutes les valeurs d’une solution maximalex(·) sont contenues dans un compact inclus dans Ω, alorsx(·) est définie sur R. Exemple :c’est le cas sif :R^N→R^N vérifie pour toutx∈R^N,

kf(x)k ≤αkxk+β, avecα,β≥0.

,→Application du lemme de Gronwall.

(21)

Quelques cons´ equences de ce th´ eor` eme

Supposons f de classe C¹ sur Ω. Alors,

,→ Pour toute donn´ee initiale (t0,x0)∈R×Ω,il existe une unique solution maximale (I,x(·)).

,→ Dur´ee de vie, principe de majorationa priori Proposition

Soit x(·) :]t₋,t+[→Ω, une solution maximale du système précédent.

Alors, si t₊<+∞,x(t) sort de tout compact contenu dans Ω, c’est-`a-dire que pour tout compact K ⊂Ω, il existe un temps t_K ∈]t₋,t₊[ tel que x(tK)∈/ K.

Conséquence :si toutes les valeurs d’une solution maximalex(·) sont contenues dans un compact inclus dans Ω, alorsx(·) est définie sur R. Exemple :c’est le cas sif :R^N→R^N vérifie pour toutx∈R^N,

kf(x)k ≤αkxk+β, avecα,β≥0.

,→Application du lemme de Gronwall.

(22)

Application au mod` ele proie-pr´ edateur (Lotka-Volterra)

Probl`eme :

x(t) y(t)

0

=g(x(t),y(t)) avec g(x,y) =

(a−by)x (fx−c)y

.

existence d’une solution maximale pour le probl`eme de Cauchy associ´e.

cette solution est globale. Observations Trajectoires compactes⇒ existence globale

Six0ety0>0, alors,x(t), y(t)>0 pour toutt ∈R? Solutions p´eriodiques ?

(23)

Application au mod` ele proie-pr´ edateur (Lotka-Volterra)

Probl`eme :

x(t) y(t)

0

(a−by)x (fx−c)y

. existence d’une solution maximale pour le probl`eme de Cauchy associ´e.

cette solution est globale. Observations Trajectoires compactes⇒ existence globale

Six0ety0>0, alors,x(t), y(t)>0 pour toutt ∈R? Solutions p´eriodiques ?

(24)

Application au mod` ele proie-pr´ edateur (Lotka-Volterra)

Probl`eme :

x(t) y(t)

0

(a−by)x (fx−c)y

. existence d’une solution maximale pour le probl`eme de Cauchy associ´e.

cette solution est globale.

Observations Trajectoires compactes⇒ existence globale

Six0 ety0>0, alors,x(t), y(t)>0 pour toutt ∈R? Solutions p´eriodiques ?

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Flot du champ de vecteur f

D´efinition du flot

Soit x ∈Ω. On d´esigne par φ(·,x) la solution du syst`eme _∂

∂tφ(t,x) =f(φ(t,x)) φ(0,x) =x,

pour tout t ∈Ix (intervalle de d´efinition de la solution maximale).

Exemples et propri´et´es

Si f(x) =Ax, avecA∈ M_n(R), alorsφ(t,x) =e^tAx Si x(·) est solution du probl`eme de Cauchy associ´e, alors

x(t) =φt−t₀(x(t₀)),

pour tous t0 et t dans l’intervalle de d´efinition de x(·)

(26)

Orbites

Propri´et´es de groupe du flot.

On note φ_t =φ(t,·). Pour tous t,s ∈R, ,→ φt◦φs =φt+s

,→ φ−t◦φt = id, i.e. (φt)⁻¹=φ−t

,→ φ0= id

Orbite d’un point x0∈Ω

C’est l’ensemble O_x₀ = {φ(t,x0), t ∈ Ix0} autrement dit, c’est la courbe trac´ee dans R^N par la solution maximale du probl`eme de Cauchy passant par x0 en t= 0.

Conséquence du théorème de Cauchy-Lipschitz Deux orbites distinctes ne peuvent pas se croiser (six ∈ O_x₀, O_x =O_x₀)

Lotka-Volterra : Six₀ et y₀ >0, alors, x(t),y(t)>0 pour tout t ∈R

(27)

Orbites

Propri´et´es de groupe du flot.

On note φ_t =φ(t,·). Pour tous t,s ∈R, ,→ φt◦φs =φt+s

,→ φ−t◦φt = id, i.e. (φt)⁻¹=φ−t

,→ φ0= id

Orbite d’un point x0∈Ω

C’est l’ensemble O_x₀ = {φ(t,x0), t ∈ Ix0} autrement dit, c’est la courbe trac´ee dans R^N par la solution maximale du probl`eme de Cauchy passant par x0 en t= 0.

Conséquence du théorème de Cauchy-Lipschitz Deux orbites distinctes ne peuvent pas se croiser (six ∈ O_x₀, O_x =O_x₀)

Lotka-Volterra : Six₀ et y₀ >0, alors,x(t),y(t)>0 pour tout t ∈R

(28)

Portrait de phase

Portrait de phase du champ de vecteursf C’est la partition de Ω en orbites.

Il existe trois types d’orbites : des points, i.e. O_x₀ ={x₀} des courbes ferm´ees(orbites p´eriodiques) et il existex dans l’orbite et T >0 tels que φ(t+T,x) =φ(t,x) pour tout t∈R.

des courbes ouvertes (aucun point double, i.e. pour tout x dans l’orbite,

t 6=s ⇒φ(t,x)6=φ(s,x)).

(29)

Portrait de phase

Portrait de phase du champ de vecteursf C’est la partition de Ω en orbites.

Il existe trois types d’orbites : des points, i.e. O_x₀ ={x₀} des courbes ferm´ees(orbites p´eriodiques) et il existex dans l’orbite et T >0 tels que φ(t+T,x) =φ(t,x) pour tout t∈R.

des courbes ouvertes (aucun point double, i.e. pour tout x dans l’orbite,

t 6=s ⇒φ(t,x)6=φ(s,x)).

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Retour au syst` eme proie-pr´ edateur de Lotka-Volterra

Remarquons que pour tout t∈Ix0, fx(t)−c

x(t) x⁰(t) +by(t)−a

y(t) y⁰(t) = 0.

On d´efinit la fonction V par

V(x,y) = (fx−clogx) + (by−alogy)

Propri´et´e

La fonctionV est constante le long des solutions du syst`eme proie-pr´edateur, i.e. pour toutt dans l’intervalle maximal,

V(x(t),y(t)) =V(x(0),y(0)).

,→ Les lignes de niveau de V sont compactes, donc (x(·),y(·)) est d´efinie surR.

(31)

P´ eriodicit´ e des solutions du syst` eme proie-pr´ edateur

Le temps de visite d’une r´egion est fini. Soit (x(0),y(0)) ∈ A, z = (x,y) la solution maximale associ´ee. On pose J = [0, τ[, avec τ = sup{t, z(t)∈A}.

Lemme. τ <+∞.

Preuve : dansA,x⁰(·) ety⁰(·) positives, donc x(·) croissant et y(·) d´ecroissant. Pourt ∈J,

y⁰(t)

y(t) =fx(t)−c ≥fx(0)−c >0.

D’o`u y(0)e^(fx(0)−c)t ≤ y(t) < ^a_b, et τ est fini.

(32)

P´ eriodicit´ e des solutions du syst` eme proie-pr´ edateur

z(·) est définie sur Rdonc z(τ) existe et vérifie y(τ) = â_b.

z(·) entre dans la r´egionB au bout d’un tempsτ fini.

Un raisonnement semblable prouve quez(·) sort deB et entre dans C au bout d’un temps fini, puis sort de deC et entre dans D au bout d’un temps fini, etc.

La solution z(·) est contenue dans {V(x,y) =V(z(0))}.

⇒ La solution z(·) a un point double.

(33)

P´ eriodicit´ e des solutions du syst` eme proie-pr´ edateur

Fait g´en´eral

z(·) solution d’un syst`eme autonome pr´esente un point double, i.e.

∃t₁<t2 |z(t1) =z(t2).

Alorszp´eriodique de p´eriodeT di- visant t₂−t₁.

Preuve :en effet,

z(t) = φt−t1(z(t₁))

= φt−t1(z(t2))

= φt+t2−t1(z(0))

= z(t+t2−t1).

(34)

Analyse qualitative des systèmes différentiels Stabilité des systèmes

Sur la stabilit´ e des syst` emes diff´ erentiels

Cadre :on consid`ere le syst`eme autonome x⁰(t) =f(x(t)), avec f : Ω⊂R^N →R^N de classe C¹.

Equilibre, stabilit´´ e

x₀∈Ω est un ´equilibre si f(x₀) = 0.

un ´equilibre x₀ est stable si

∀ε >0,∃δ >0, kx−x0k< δ et t>0⇒ kφt(x)−x0k< ε.

un ´equilibrex0 est asymptotiquement stable s’il est stable et s’il existe un voisinageV de x₀ tel que

∀x ∈ V, lim

t→+∞φt(x) =x0.

(35)

Exemple du cas lin´ eaire : x

⁰

(t) = Ax (t), avec A ∈ M

_N

( R )

0 est un équilibre, de même que tout élément de kerA.

Toute solution du syst`eme ci-dessus s’´ecrit x(t) = X

1≤i≤q

e^tαⁱ X

0≤k≤m_i

t^k(cos(βit)a_i,k+ sin(βit)b_i,k),

o`uαi =<e(λi),βi ==m(λi), λi est une v.p. de A,q le nombre de v.p.

distinctes de A,m_i l’ordre de nilpotence du bloc de Jordan associé à λ_i, a_i,k et b_i_,k des réels.

Proposition

L’origine est stable (resp. a.s.) ssi toutes les v.p. de A sont de partie réelle négative (resp. strictement négative).

(36)

Illustration du cas lin´ eaire 2 × 2, avec A diagonale dans R

Casλ1>0,λ2 <0 Casλ1 <0,λ2 <0

(37)

Sur la stabilit´ e des syst` emes non lin´ eaires

1^`êreméthode : technique de linéarisation

Cadre :on consid`ere le syst`eme autonome x⁰(t) =f(x(t)),

avec f : Ω⊂R^N →R^N de classe C¹. Soitx₀, un ´equilibre.

,→ Le principe :l’étude des valeurs propres de la matrice jacobienne Df(x0) permet généralement de caractériser la stabilité d’un équilibre.

Un premier th´eor`eme

1 Si toutes les valeurs propres de Df(x0) sont de partie réelle strictement négative, alors x0 est un équilibre a.s.

2 Si x0 est un équilibre stable, alors toutes les v.p. de Df(x0) sont de partie réelle négative ou nulle.

(38)

1

^`^ere

m´ ethode : technique de lin´ earisation

Un exemple o`u les v.p. deDf(x₀) sont de partie r´eelle nulle : x⁰=

x2−x1(x₁²+x₂²)

−x₁−x2(x₁²+x₂²)

et x⁰ =

x2+x1(x₁²+x₂²)

−x₁+x2(x₁²+x₂²)

Unique équilibre : 0 Linéarisés égaux :

0 1

−1 0

, v.p. =±i

0 est a.s. pour le 1êr système et non stable pour le 2^`ême

(39)

1

^`^ere

m´ ethode : technique de lin´ earisation

Equilibre hyperbolique´

Un ´equilibre x0 est dit hyperbolique si toutes les v.p. de Df(x0) ont une partie r´eelle non nulle.

Th´eor`eme d’Hartman-Grobmann

Soit x0, un équilibre hyperbolique. Soit φ^L_t :y7→e^tDf^(x⁰⁾y, le flot du linéarisé en x0. Alors, il existe un homéomorphisme h:V_x₀ → V₀ où V_x₀ et V₀ sont des voisinages dex₀ et 0 dans R^N, tel que

φ^L_t(h(x)) =h(φt(x)), partout o`u ces expressions ont un sens.

,→ les portraits de phase du système et de son linéarisé autour d’un

´

equilibre hyperbolique sont topologiquement équivalents. Les orbites stables et instables enx₀ sont les images par h⁻¹ des orbites stables et instables en 0 du linéarisé.

(40)

Application au syst` eme proie-pr´ edateur : technique de lin´ earisation

Rappel : g(x,y) =

(a−by)x (fx−c)y

, champ de vecteur d´efini par l’´equation de Volterra

2 ´equilibres :0 et ¯z = (^c_f,^a_b) Dg(0) =

a 0 0 −c

, v.p.={a,−c},a>0 dont 0 est instable Dg(¯z) =

0 −b¯x fy¯ 0

, v.p.∈iR. On ne peut rien conclure Graphiquement, ¯z semble stable, mais pas a.s

Conclusion :approche limitée, mais aisée à mettre en œuvre. On ne peut pas l’utiliser pour exhiber un équilibre stable, mais pas a.s

(41)

Application au syst` eme proie-pr´ edateur : technique de lin´ earisation

Rappel : g(x,y) =

(a−by)x (fx−c)y

2 ´equilibres :0 et ¯z = (^c_f,^a_b) Dg(0) =

a 0 0 −c

, v.p.={a,−c},a>0 dont 0 est instable Dg(¯z) =

0 −b¯x fy¯ 0

, v.p.∈iR. On ne peut rien conclure Graphiquement, ¯z semble stable, mais pas a.s

Conclusion :approche limitée, mais aisée à mettre en œuvre. On ne peut pas l’utiliser pour exhiber un équilibre stable, mais pas a.s

(42)

2

^`^eme

m´ ethode : fonctions de Lyapunov

Le principe : supposons quef(x) soit de la formef(x) =−∇V(x), avec V ∈ C²(Ω,R^N) et soitx₀ t.q. ∇V(x₀) = 0.

Si x(·) est solution dex⁰(t)) =f(x(t)), alors d

dt[V(x(t))] =−k∇V(x(t))k²

pour tout t dans l’intervalle de d´efinition de x(·). Ainsi,t 7→V(x(t)) est soit constante et dans ce cas x(t)≡x0 est point critique

soit strictement d´ecroissante (V tend `a se rapprocher d’un min local) De plus,

Six₀n’est pas un min local deV, alorsx₀n’est pas stable Six₀est un min local strict, alorsx₀ est un ´equilibre stable.

(43)

2

^`^eme

m´ ethode : fonctions de Lyapunov

Fonctions de Lyapunov

Soitx0, un ´equilibre dex⁰ =f(x),V_x₀ ⊂Ω, un voisinage dex0 etL:V_x₀ → R, continue. On dit queL est une fonction de Lyapunov enx₀ si

1 x0 est un minimiseur strict deL surV_x₀

2 pour tout x∈ V_x₀, la fonctiont7→L(φt(x)) est d´ecroissante.

Si de plus, pour x 6= x0, la fonction t 7→ L(φt(x)) est strictement décroissante, on sait queL est une fonction de Lyapunov stricte enx0. Le résultat clef de stabilité est le suivant :

Th´eor`eme

Si l’équation différentiellex⁰ =f(x) admet une fonction de Lyapunov en un équilibrex0, alorsx0 est un équilibre stable. Si de plus la fonction de Lyapunov est stricte, alors x₀ est a.s.

Conclusion :approche en général très efficace, mais il n’est pas toujours aisé d’exhiber une fonction de Lyapunov

(44)

2

^`^eme

m´ ethode : fonctions de Lyapunov

Fonctions de Lyapunov

Soitx0, un ´equilibre dex⁰ =f(x),V_x₀ ⊂Ω, un voisinage dex0 etL:V_x₀ → R, continue. On dit queL est une fonction de Lyapunov enx₀ si

1 x0 est un minimiseur strict deL surV_x₀

2 pour tout x∈ V_x₀, la fonctiont7→L(φt(x)) est d´ecroissante.

Si de plus, pour x 6= x0, la fonction t 7→ L(φt(x)) est strictement décroissante, on sait queL est une fonction de Lyapunov stricte enx0. Le résultat clef de stabilité est le suivant :

Th´eor`eme

Si l’équation différentiellex⁰ =f(x) admet une fonction de Lyapunov en un équilibrex0, alorsx0 est un équilibre stable. Si de plus la fonction de Lyapunov est stricte, alors x₀ est a.s.

Conclusion :approche en général très efficace, mais il n’est pas toujours aisé d’exhiber une fonction de Lyapunov

(45)

2

^`^eme

m´ ethode : fonctions de Lyapunov

Bassins d’attraction

Bassin d’attraction

Pour un ´equilibre a.s.x₀, on appelle bassin d’attraction l’ensemble desx ∈Ω tels que

φt(x)−−−−→

t→+∞ x0.

Par d´efinition, le bassin d’attraction dex0 contient un voisinage dex0. Supposons qu’il existeL:R^N →R, une fonction de Lyapunov stricte enx0 telle que

kxk→+∞lim L(x) = +∞.

Alors, le bassin d’attraction dex0 est R^N tout entier. On parle alors d’´equilibre globalement a.s.

(46)

Application au syst` eme proie-pr´ edateur : fonctions de Lyapunov

Rappel : g(x,y) =

(a−by)x (fx−c)y

Equilibre 0´ instable (lin´earisation)

Equilibre ¯´ z. On a vu que la fonction V d´efinie par V(x,y) = (fx−clogx) + (by−alogy)

est constante le long des solutions. Posons L(x,y) =V(x,y)−V(¯z).

Alors,L(¯z) = 0 et L(x,y)>0 pour tout (x,y)6= ¯z.

On en d´eduit queLest une fonction de Lyapunov (non stricte) en ¯z. L’´equilibre ¯z est donc stable, mais pas a.s.

(47)

Un autre exemple : les solitons

On cherche ici à analyser le phénomène de la vague solitaire ou soliton.

Modélisation : on considère un long canal unidimensionnel et on désigne par y, le profil de la surface d’eau qui est une fonction du tempst et de la position x le long du canal.

On note :

h, la hauteur de l’eau au repos g, la constante de gravitation

σ >0, une constante dépendant deh,g et de la tension superficielle y satisfait l’équation aux dérivées partielles

∂y

∂t =− rg

h

∂

∂x

hy+ 3 4y²+σ

2

∂²

∂x²

, dite de Korteweg-de Vries (KdV)

(48)

Un autre exemple : les solitons

Soliton : c’est une solution de (KdV) telle que

y(t,x) =z(x−vt),v ´etant une constante (la vitesse de la vague) Posons s =x−vt.

z(·) et toutes ses d´eriv´ees tendent vers 0 quands → ±∞. (surface d’eau au repos loin du soliton)

,→ Existence d’un soliton ?

,→ S’il existe, orbite et amplitude du soliton ?

(49)

Un autre exemple : les solitons

Supposons qu’il existe un soliton z(·). Remarquons que

∂y

∂t =−vz⁰(s) et ∂y

∂x =z⁰(s).

On obtient ais´ement (int´egrant (KdV) et utilisant les conditions aux limites) que z satisfait l’e.d.o. suivante

σz⁰⁰(s) =bz(s)− 3 2z²(s) , avec b= 2vq

h g −2h.

Champ de vecteur associ´e : f(x) =

x₂ bx1−³₂x₁²

(50)

Un autre exemple : les solitons

Existence pour le problème de Cauchy : le théorème de Cauchy-Lipschitz garantit l’existence (locale) de solutions maximales

Conditions d’existence d’un soliton : pour un soliton z(·), la solution (z(·),z⁰(·)) de x⁰ =f(x) tend vers 0 quands → ±∞. Pour qu’un soliton existe, il faut donc qu’il existe une solution de x⁰=f(x) qui tend vers 0 en

±∞.

Technique de lin´earisation Points d’´equilibre : 0 et ¯x= (^2b₃ ,0)

Df(0) =

0 1 b 0

, v.p. ={±ip

|b|} sib ≤0 et{±p

|b|}sinon Df(¯x) =

0 1

−b 0

, v.p. ={±p

|b|}sib ≤0 et{±ip

|b|}sinon

(51)

Un autre exemple : les solitons

Existence pour le problème de Cauchy : le théorème de Cauchy-Lipschitz garantit l’existence (locale) de solutions maximales

Conditions d’existence d’un soliton : pour un soliton z(·), la solution (z(·),z⁰(·)) de x⁰ =f(x) tend vers 0 quands → ±∞. Pour qu’un soliton existe, il faut donc qu’il existe une solution de x⁰=f(x) qui tend vers 0 en

±∞.

Technique de lin´earisation Points d’´equilibre :0 et ¯x= (^2b₃ ,0)

Df(0) =

0 1 b 0

, v.p. ={±ip

|b|} sib ≤0 et{±p

|b|}sinon Df(¯x) =

0 1

−b 0

, v.p. ={±p

|b|} sib ≤0 et{±ip

|b|}sinon

(52)

Un autre exemple : les solitons

Cons´equence de ce calcul :pour b >0, 0 est un ´equilibre non stable et on ne peut pas conclure pour ¯x qui n’est pas hyperbolique. Inversement, pour b <0, ¯x n’est pas stable et 0 n’est pas hyperbolique.

Portrait de phase du lin´earis´e 2 solutions tendent vers 0 en +∞

2 solutions tendent vers 0 en

−∞

⇒ 2 solitonsau plus pour l’´equation (KdV)

(53)

Un autre exemple : les solitons

Que conclure pour l’existence de solitons ? quandb >0, 0 est un équilibre hyperbolique. D’après le théorème d’Hartman-Grobmann, le portrait de phase de x⁰ = f(x) est topologiquement équivalent à celui de l’équation linéarisée.

Portrait de phase du lin´earis´e 2 solutions tendent vers 0 en +∞

2 solutions tendent vers 0 en

−∞

⇒ 2 solitonsau plus pour l’´equation (KdV)

(54)

Un autre exemple : les solitons

Stabilit´e par fonction de Lyapunov

On chercheL telle quef(x)[∇L(x)]^>= 0 pour tout x dans un voisinage donn´e de 0, i.e.

x₂ ∂L

∂x₁(x) + (bx₁−3 2x₁²)∂L

∂x₂ = 0.

On choisit (par exemple)

L(x) = x₁²

2 (x₁−b) +x₂² 2

On sait queL(x(·)) est constante, et compte tenu des conditions aux limites, cette constante est nulle. L’orbite de x(·) (si elle existe) est

{x ∈R², L(x) = 0}.

Remarque : quandb<0, 0 est un point isol´e de cette courbe de niveau et la seule solution tendant vers 0 en ±∞est la solution triviale

(55)

Un autre exemple : les solitons

une solution x(·) associée à un soliton doit être contenue dans la boucle de droite donc définie surR. . . A= (b,0) = point

d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses.

f(A) = (0,−b/2) ; on en d´eduit que la semi-orbite x([0,+∞[) est dans la partie de la courbe o`u x2 <0.

Dans cette partie, x1(·) d´ecroissante et minor´ee donc converge.

(56)

Un autre exemple : les solitons

Conclusion Lemme

Soit f ∈ C¹(R^N,R^N) etx(·) solution de x⁰ =f(x) d´efinie sur [0,+∞[

ayant une limite x∞∈Ω en +∞. Alors x∞ est un point d’´equilibre.

x(·) a donc une limite quandt →+∞

mˆeme raisonnement quandt → −∞

On en d´eduit quex1(·) =z(·) est un soliton, d’amplitude maximale obtenue pourx₂ = 0, soitb

On a montr´e

Pour tout vitesse de propagation v telle queb >0, soit v >√

gh, il existe un soliton dont l’amplitude maximale estb = 2

v

qh g −h

(57)

Un autre exemple : les solitons

Conclusion Lemme

Soit f ∈ C¹(R^N,R^N) etx(·) solution de x⁰ =f(x) d´efinie sur [0,+∞[

ayant une limite x∞∈Ω en +∞. Alors x∞ est un point d’´equilibre.

x(·) a donc une limite quandt →+∞

mˆeme raisonnement quandt → −∞

On en d´eduit quex1(·) =z(·) est un soliton, d’amplitude maximale obtenue pourx₂ = 0, soitb

On a montr´e

Pour tout vitesse de propagation v telle queb >0, soit v >√

gh, il existe un soliton dont l’amplitude maximale estb = 2

v

qh g −h

(58)

Une brève introduction à la commande de systèmes Commandabilité, observabilité - cas linéaire

Syst` emes command´ es

Soit τ > 0. On perturbe le système x⁰(t) = Ax(t) à l’aide d’une fonction continue par morceaux u : [0, τ] → R^m appelée commande ce qui nous amène à considérer le système

x⁰(t) =Ax(t) +Bu(t), t ∈[0, τ] o`uA∈ M_n(R) etB ∈ M_n,m(R)

,→ Comment trouver une commandeu permettant de stabiliser asymptotiquement le syst`emex⁰ =Ax?

,→ Plus généralement, comment trouver une commandeu permettant d’amener le systèmex⁰=Ax d’un état x₀ ∈R^N en t= 0 à un état x1∈R^N ent=τ?

(59)

Quelques exemples de syst` emes command´ es

(60)

Commandabilit´ e des syst` emes lin´ eaires

Syst`eme commandable en temps τ

On dit que le système x⁰ = Ax +Bu est commandable en temps τ si A(τ,x0) =R^N, où A(τ,x0) = ensemble des états accessibles en temps τ

A(τ,x0) = {x(τ), ∃u∈CM([0, τ],R^m), x solution de x⁰ =Ax+Bu et x(0) =x₀}

Le résultat principal est le théorème suivant. Critère de commandabilité de Kalman

Le syst`emex⁰ =Ax +Bu est commandable en tempsτ si, et seulement si la matrice de commandabilit´e

C = [B AB · · · Aⁿ⁻¹B]∈ M_n,nm(R) est de rang maximal.

(61)

Commandabilit´ e des syst` emes lin´ eaires

Syst`eme commandable en temps τ

On dit que le système x⁰ = Ax +Bu est commandable en temps τ si A(τ,x0) =R^N, où A(τ,x0) = ensemble des états accessibles en temps τ

A(τ,x0) = {x(τ), ∃u∈CM([0, τ],R^m), x solution de x⁰ =Ax+Bu et x(0) =x₀}

Le résultat principal est le théorème suivant.

Crit`ere de commandabilit´e de Kalman

Le syst`emex⁰ =Ax +Bu est commandable en temps τ si, et seulement si la matrice de commandabilit´e

C = [B AB · · · Aⁿ⁻¹B]∈ M_n,nm(R) est de rang maximal.

(62)

Preuve du crit` ere de commandabilit´ e de Kalman

On ´ecrit

x(t) =e^tAx₀+ Z t

0

e^(t−s)ABu(s)ds et donc A(τ,x0) =e^τAx0+A(τ,0).

Thm de Cayley-Hamilton⇒ pour tout i ≥0,Aⁱ est combinaison linéaire de I, . . .,Aⁿ⁻¹. On en déduit queA(τ,x0)⊂ R(A,B), où

R(A,B) = Vect

AⁱBz,i ∈ {0,· · ·,n−1},z ∈R^m En r´ealit´e, on a

Lemme

A(τ,0) =R(A,B)

,→ Si on démontre l’inclusion réciproque, on aura prouvé le théorème

(63)

Preuve du crit` ere de commandabilit´ e de Kalman (suite et fin)

On montre en r´ealit´e que [A(τ,0)]^⊥⊂[R(A,B)]^⊥

Soit w ∈Rⁿ appartenant `a l’orthogonal de A(τ,0). Alors,

∀s ∈[0, τ],

e^(τ−s)AB>

w = 0.

,→ on utilise la commandeu(t) =B^> e^(τ−s)A>

w On en d´eduit successivement que

∀i ∈ {1,· · ·,n−1}, AⁱB>

w = 0, puis queA(τ,0) =R(A,B)

(64)

L’exemple du pendule invers´ e

Probl`eme :

θ(t) θ⁰(t)

0

=f

θ(t) θ⁰(t)

,u

=

θ⁰(t)

g

` sinθ(t)−_`¹₂u(t)

θ

b

m

ℓ

0

u

´Equilibre :θ¯= 0, u¯= 0 D_xf(0,0) =

0 1

g

` 0

v.p.= ±q

g

` donc ´equilibre instable

(65)

Stabilisation par retour d’´ etat

L’exemple du pendule invers´e

,→ On choisit la commande u(t) =Kx(t), avecx(t) =

θ(t) θ⁰(t)

et K = (k1 k2)

,→ On obtient le syst`eme boucl´e

x⁰(t) =f(x(t),Kx(t))

Question : comment choisir K = (k1 k2) pour que ce syst`eme soit stabilisable ?

,→ Lin´earisation : δx⁰(t) = (A+BK)δx(t), avecA=D_xf(0,0) et B =D_uf(0,0), soit

A+BK =

0 1

g

` −^k_`¹₂ −^k_`²₂

(66)

Stabilisation par retour d’´ etat

L’exemple du pendule invers´e

,→ On choisit la commande u(t) =Kx(t), avecx(t) =

θ(t) θ⁰(t)

et K = (k1 k2)

,→ On obtient le syst`eme boucl´e

x⁰(t) =f(x(t),Kx(t))

Question : comment choisir K = (k1 k2) pour que ce syst`eme soit stabilisable ?

,→ Lin´earisation : δx⁰(t) = (A+BK)δx(t), avecA=D_xf(0,0) et B =D_uf(0,0), soit

A+BK =

0 1

g

` −^k_`¹₂ −^k_`²₂