On cherche ici `a analyser le ph´enom`ene de la vague solitaire ou soliton.
Mod´elisation : on consid`ere un long canal unidimensionnel et on d´esigne par y, le profil de la surface d’eau qui est une fonction du tempst et de la position x le long du canal.
On note :
h, la hauteur de l’eau au repos g, la constante de gravitation
σ >0, une constante d´ependant deh,g et de la tension superficielle y satisfait l’´equation aux d´eriv´ees partielles
∂y dite de Korteweg-de Vries (KdV)
Y. Privat (ENS Cachan) Syst`emes diff´erentiels septembre 2012 32 / 50
Analyse qualitative des syst`emes diff´erentiels Stabilit´e des syst`emes
Un autre exemple : les solitons
Soliton : c’est une solution de (KdV) telle que
y(t,x) =z(x−vt),v ´etant une constante (la vitesse de la vague) Posons s =x−vt.
z(·) et toutes ses d´eriv´ees tendent vers 0 quands → ±∞. (surface d’eau au repos loin du soliton)
,→ Existence d’un soliton ?
,→ S’il existe, orbite et amplitude du soliton ?
Y. Privat (ENS Cachan) Syst`emes diff´erentiels septembre 2012 33 / 50
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Un autre exemple : les solitons
Supposons qu’il existe un soliton z(·). Remarquons que
∂y
∂t =−vz0(s) et ∂y
∂x =z0(s).
On obtient ais´ement (int´egrant (KdV) et utilisant les conditions aux limites) que z satisfait l’e.d.o. suivante
σz00(s) =bz(s)− 3 2z2(s) , avec b= 2vq
h g −2h.
Champ de vecteur associ´e : f(x) =
x2 bx1−32x12
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Un autre exemple : les solitons
Existence pour le probl`eme de Cauchy : le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz garantit l’existence (locale) de solutions maximales
Conditions d’existence d’un soliton : pour un soliton z(·), la solution (z(·),z0(·)) de x0 =f(x) tend vers 0 quands → ±∞. Pour qu’un soliton existe, il faut donc qu’il existe une solution de x0=f(x) qui tend vers 0 en
±∞.
Y. Privat (ENS Cachan) Syst`emes diff´erentiels septembre 2012 35 / 50
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Un autre exemple : les solitons
Existence pour le probl`eme de Cauchy : le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz garantit l’existence (locale) de solutions maximales
Conditions d’existence d’un soliton : pour un soliton z(·), la solution (z(·),z0(·)) de x0 =f(x) tend vers 0 quands → ±∞. Pour qu’un soliton existe, il faut donc qu’il existe une solution de x0=f(x) qui tend vers 0 en
±∞.
Y. Privat (ENS Cachan) Syst`emes diff´erentiels septembre 2012 35 / 50
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Un autre exemple : les solitons
Cons´equence de ce calcul :pour b >0, 0 est un ´equilibre non stable et on ne peut pas conclure pour ¯x qui n’est pas hyperbolique. Inversement, pour b <0, ¯x n’est pas stable et 0 n’est pas hyperbolique.
Portrait de phase du lin´earis´e 2 solutions tendent vers 0 en +∞
2 solutions tendent vers 0 en
−∞
⇒ 2 solitonsau plus pour l’´equation (KdV)
Y. Privat (ENS Cachan) Syst`emes diff´erentiels septembre 2012 36 / 50
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Un autre exemple : les solitons
Que conclure pour l’existence de solitons ? quandb >0, 0 est un ´equilibre hyperbolique. D’apr`es le th´eor`eme d’Hartman-Grobmann, le portrait de phase de x0 = f(x) est topologiquement ´equivalent `a celui de l’´equation lin´earis´ee.
Portrait de phase du lin´earis´e 2 solutions tendent vers 0 en +∞
2 solutions tendent vers 0 en
−∞
⇒ 2 solitonsau plus pour l’´equation (KdV)
Y. Privat (ENS Cachan) Syst`emes diff´erentiels septembre 2012 36 / 50
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Un autre exemple : les solitons
Stabilit´e par fonction de Lyapunov
On chercheL telle quef(x)[∇L(x)]>= 0 pour tout x dans un voisinage donn´e de 0, i.e.
On sait queL(x(·)) est constante, et compte tenu des conditions aux limites, cette constante est nulle. L’orbite de x(·) (si elle existe) est
{x ∈R2, L(x) = 0}.
Remarque : quandb<0, 0 est un point isol´e de cette courbe de niveau et la seule solution tendant vers 0 en ±∞est la solution triviale
Y. Privat (ENS Cachan) Syst`emes diff´erentiels septembre 2012 37 / 50
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Un autre exemple : les solitons
Stabilit´e par fonction de Lyapunov
une solution x(·) associ´ee `a un soliton doit ˆetre contenue dans la boucle de droite donc d´efinie surR. . . A= (b,0) = point
d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses.
f(A) = (0,−b/2) ; on en d´eduit que la semi-orbite x([0,+∞[) est dans la partie de la courbe o`u x2 <0.
Dans cette partie, x1(·) d´ecroissante et minor´ee donc converge.
Y. Privat (ENS Cachan) Syst`emes diff´erentiels septembre 2012 38 / 50
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Un autre exemple : les solitons
Stabilit´e par fonction de Lyapunov
Conclusion Lemme
Soit f ∈ C1(RN,RN) etx(·) solution de x0 =f(x) d´efinie sur [0,+∞[
ayant une limite x∞∈Ω en +∞. Alors x∞ est un point d’´equilibre.
x(·) a donc une limite quandt →+∞
mˆeme raisonnement quandt → −∞
On en d´eduit quex1(·) =z(·) est un soliton, d’amplitude maximale obtenue pourx2 = 0, soitb
On a montr´e
Pour tout vitesse de propagation v telle queb >0, soit v >√
gh, il existe un soliton dont l’amplitude maximale estb = 2
v
qh g −h
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Un autre exemple : les solitons
Stabilit´e par fonction de Lyapunov
Conclusion Lemme
Soit f ∈ C1(RN,RN) etx(·) solution de x0 =f(x) d´efinie sur [0,+∞[
ayant une limite x∞∈Ω en +∞. Alors x∞ est un point d’´equilibre.
x(·) a donc une limite quandt →+∞
mˆeme raisonnement quandt → −∞
On en d´eduit quex1(·) =z(·) est un soliton, d’amplitude maximale obtenue pourx2 = 0, soitb
On a montr´e
Pour tout vitesse de propagation v telle queb >0, soit v >√
gh, il existe un soliton dont l’amplitude maximale estb = 2
v
qh g −h
Y. Privat (ENS Cachan) Syst`emes diff´erentiels septembre 2012 39 / 50
Une br`eve introduction `a la commande de syst`emes Commandabilit´e, observabilit´e - cas lin´eaire