Les syst` emes

(1)

Les syst` emes

Exercice 1

R´esoudre les syst`emes suivants :

"

3x y10 x2y 30

"

12x 5y260 8x7y380

"

3x y70 6x 2y90

"

4x 5y9 0 8x 10y180

Interpr´eter graphiquement ces syst`emes et leurs solutions.

Exercice 2

R´esoudre le syst`eme suivant :

$

'

&

'

%

12 x 2

18 y 110 3

x 2 4 y 1 5

indication : On pourra poserX 1

x 2 etY 1 y 1

Fiche issue dehttp://www.ilemaths.net 1

(2)

Correction

Exercice 1

"

3x y10

x2y 30 ´equivaut `a

"

3x y1 x2y3

Comme 3 (-2) - 1 1 = -70, alors ce syst`eme admet un unique couple solution.

Résolution du système : multiplions la deuxième équation par -3 :

"

3x y 1

3x 6y9

"

3x y1

7y 10 (On additionne la première et la deuxième équation)

# 3x y1 y 10

7

(On a déterminé la valeur de y, on remplace alors cette valeur dans la première équation)

$

'

&

'

%

3x 10 7 1 y 10

7

$

'

&

'

%

3x110

7

1 3 y 10

7

$

'

&

'

%

x3 7

1 3 y 10

7

$

'

&

'

%

x1 7 y10 7 D’o`u : S^t

1 7;10

7

u

L’équation 3x + y = 1 est équivalent ày3x 1 [1]

De même, l’équation x - 2y = -3 est équivalente à y1 2x 3

2 [2]

Les droites dont les équations réduites sont respectivement [1] et [2] sont sécantes. Le système a donc une unique solution : les coordonnées du point d’intersection de ces deux droites.

"

12x 5y260

8x7y380 ´equivaut `a

"

12x 5y26 8x7y38

Comme 12(-7) - 58 = -1240, alors ce syst`eme admet un unique couple solution.

Résolution du système : multiplions la première équation par 2 et la deuxième équation par -3 :

"

24x 10y 52

24x 21y114

"

24x 10y52

31y 62

# 12x 5y 26

y 62

312

Rempla¸cons y par -2 dans la premi`ere ´equation :

# 12x 5^p2^q 26

y 62

31 2

#

12x 36

y 62 31 2

$

'

&

'

%

x 36 12 3 y62

31 2 D’o`u : S^tp3;2^qu

(3)

L’équation 12x + 5y = 26 est équivalent à y12 5 x 26

5 [1]

De même, l’équation 8x - 7y = 38 est équivalente à y8 7x38

7 [2]

Les droites dont les équations réduites sont respectivement [1] et [2] sont sécantes. Le système a donc une unique solution : les coordonnées du point d’intersection de ces deux droites.

"

3x y70

6x 2y90 ´equivaut `a

"

3x y7 6x 2y9

Comme 3 2 - 16 = 0, alors ce syst`eme n’admet soit aucune solution, soit une infinit´e de solutions.

L’équation 3x + y = 7 est équivalente à y = -3x + 7 [1]

De même, l’équation 6x + 2y = 9 est équivalente à y3x 9 2 [2]

Les droites dont les équations réduites sont respectivement [1] et [2] sont strictement parallèles (les équations ont même coefficient directeur et des ordonnées à l’origine différentes).

Nous pouvons donc en conclure que ce syst`eme n’admet aucune solution.

D’o`u : S^H

"

4x 5y9 0

8x 10y180 ´equivaut `a

"

4x 5y9 8x 10y18

Comme 4 10 - 58 = 0, alors le syst`eme admet soit aucune solution, soit une infinit´e de solutions.

L’équation 4x + 5y = 9 est équivalent à y4 5x 9

5 De même, l’équation 8x + 10y = 18 est équivalente à y4

5x 9

Les droites dont les ´equations r´eduites sont respectivement [1] et [2] sont confondues.5

Nous pouvons donc en conclure que le système admet une infinité de solutions : les coordonnées des points de la droite d’équation y4

5x 9 5.

Exercice 2

On consid`ere le syst`eme suivant :

$

'

&

'

%

12 x 2

18 y 110 3

x 2 4 y 1 5

On effectue un changement de variable en posant : X 1

x 2 etY 1 y 1 Le syst`eme devient alors :

"

12X18Y10

3X 4Y 5

Comme 124 - 3(-18) = 1020, alors ce syst`eme admet une unique solution.

R´esolution du syst`eme :

"

12X18Y10

3X 4Y 5 ´equivaut `a

"

6X9Y5

3X 4Y5 (on divise par 2 la premi`ere ´equation)

"

6X9Y 5

6X8Y10 (on multiplie par -2 la deuxi`eme ´equation)

"

6X9Y5

17Y 15

# 6X9Y5 Y 15 17

$

'

&

'

%

6X915 175

Y 15

17

$

'

&

'

%

6X5 135

17 Y 15

17

(4)

'

&

'

%

X50 17

1 6 Y 15

17

$

'

&

'

%

X25 51 Y15 17

Or n’oublions pas que nous avons ´etabli un changement de variable en posant X 1

x 2 etY 1 y 1. Donc :

25

51

1 x 2 25^px 2^q51 25x 5051 25x1 x 1 Et : 25

15

17

1 y 1 15^py 1^q17 15y 1517 15y2 y 2

15 D’o`u : S^t

1 25; 2

15

u