Exercices Syst`emes non-lin´eaires, Licence PSPI
Syst`emes hamiltoniens
Excercice 1 :
On donne la fonction de Lagrange d’un syst`eme dynamique qui est d´ecrit par la variablex,
L(x,x) =˙ 1
2Mx˙2−V0(1−cos[kx]), o `uM >0, V0 >0, k∈R.
1. D´eriver les ´equations du mouvement d’Euler-Lagrange.
2. Construire l’hamiltonien et les ´equations du mouvement associ´ees.
3. Trouver les points critiques et faire une analyse de stabilit´e autour de ces points.
Excercice 2 :
On consid`ere une particule dont la dynamique est d´ecrite par la fonction de Lagrange
L(x,x) =˙ 1
2Mx˙2−V0(coshkx−1).
o `uM >0,V0 >0,k >0.
1. D´eriver les ´equations d’Euler-Lagrange.
2. Construire l’hamiltonien et les ´equations du mouvement associ´ees.
3. Construire l’hamiltonien “lin´earis´e” pour le cas|kx| 1et tracer sch´ematiquement les trajectoires correspondantes dans l’espace de phases.
4. Montrer qu’il y a un seul point critique et faire une analyse de stabilit´e pour ce point. Relier le r´esultat de cette analyse `a la forme des
trajectoires trouv´ee en 3.
Excercice 3 :
On consid`ere une particule dont la dynamique est d´ecrite par la fonction de Lagrange
L(x,x) =˙ 1
2Mx˙2− 1
2Kx2exp(−[x/σ]2)
| {z }
V(x)
o `u{M, K, σ}>0.
1. Faire un dessin sch´ematique du potentialV(x).
2. D´eriver les ´equations d’Euler-Lagrange.
3. Construire l’hamiltonien et les ´equations du mouvement associ´ees.
4. Trouver les points critiques.
Exercices Syst`emes non-lin´eaires, Licence PSPI
Syst`emes non-hamiltoniens
1. On consid`ere un syst`eme dynamique dont les ´equations du mouvement sont
˙
x(t) =αx(t)y(t),
˙
y(t) =−βy(t),
o `uα >0etβ >0.
(a) Est-ce que les solutions sont positives pourt >0six(0)>0et y(0) >0?
(b) R´esoudre les ´equations du mouvement pour les conditions initiales x(0) =x0, y(0) =y0, o `ux0 >0, y0 >0.
(c) Montrer qu’il y a un point fixe pourt→ ∞.
(d) Faire une analyse de stabilit´e pour un point quelconque de la trajectoire.
(e) Est-ce que le volume de l’espace de phase est conserv´e ? Comment est-ce que ce volume ´evolue pourt→ ∞?
2. On donne les ´equations du mouvement
˙
q(t) = p(t),
˙
p(t) = −ω02q(t)−γ(p(t)−p),
(a) Trouver les points critiques.
(b) Y a-t-il un point fixe ?
(c) Faire une analyse de stabilit´e pour un point quelconque dans l’espace de phases pourγ >0etγ <0.
