L1 Alg`ebre Exos5 : 18/10/12
Syst` emes deux-deux
1. Interro
(a) Trouver une combinaison lin´eaire horizontale des deux ´equations (E1) 4x−3y= 1
(E2) 5x+ 4y =−4.
(b) R´esoudre par combinaisons lin´eaires le syst`eme de deux ´equations (E1) 7x−8y= 1
(E2) 8x+ 7y =−4.
(c) Donner l’´equation r´esolue en y du plan d’´equation 3x−7y+ 5z = 4.
(d) Pour quelles valeurs du param`etreml’´equation (m2−1)x+(m2+m)y+(m3−1)z =m+1 d´efinit-elle un plan ?
(e) R´esoudre cette ´equation pour toute valeur de m.
(f) R´esoudre le syst`eme de deux ´equations aux trois inconnues x, y, z : (E1) 7x−8y= 1
(E2) 8y+ 7z=−4.
(g) R´esoudre le syst`eme de deux ´equations aux trois inconnuesx, y, z:
(E1) x−y+z = 1 (E2) −x+y+z =−4.
(h) Pour quelles valeurs du param`etre m la troisi`eme ´equation du syst`eme suivant est-elle com- binaison lin´eaire des deux autres ?
(E1) x−y=m2 (E2) 5x+ 2y= 1 (E2) 3x+y= 1.
2. R´esoudre un syst`eme deux-deux
(a) R´esoudre le syst`eme
(E1) πx+ (1 +π)y=−1 (E2) (1 +π)x−πy =−4.
(b) R´esoudre en fonction du param`etre θ le syst`eme
(E1) xcosθ−ysinθ = 3 (E2) xsinθ+ycosθ= 4.
(c) R´esoudre en fonction du param`etre m le syst`eme
(E1) x+y= 1 (E2) x+m2y=m.
3. R´esoudre un syst`eme trois-deux
Pour chacun des syst`emes suivants, aux deux inconnues r´eelles x et y, dessinez les trois droites correspondantes, dites si elles sont concourantes ou non, et indiquez l’ensemble des solutions ; si cet ensemble est non vide, exprimez la troisi`eme ´equation comme combinaison des deux premi`eres.
2x+y−1 = 0 x+y+ 2 = 0 3x+y−4 = 0
2x+y−1 = 0 x+y+ 2 = 0 3x+y+ 4 = 0
2x+ 3y−1 = 0 2x+y+ 1 = 0 3x+y = 0
2x+ 3y−1 = 0 2x+y+ 1 = 0 x+y = 0
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