S3-MIAS. Physique Statistique 17 janvier 2005 Universit´e Paris-Sud
TD 3 : Syst` emes isol´ es - Ensemble microcanonique
1 Syst` emes ` a deux niveaux
On consid`ere N sous-syst`emes discernables et sans interaction, pouvant chacun se trouver dans deux ´etats d’´energie e1 = ε ou e2 = 4ε. L’´energie totale des N sous-syst`emes peut ainsi s’´ecrire E=M εo`uM ∈N.
On appellen1 (respectivementn2) le nombre de sous-syst`emes dans l’´etat d’´energie e1 (res- pectivement e2).
1. Si N est fix´e, dans quel intervalle varie l’´energie E du syst`eme (i.e. Mmin 6 M 6Mmax) ? Exprimer n1 etn2 en fonction de N et de M.
2.Soit Ω(E, N) le nombre de micro´etats accessibles d’´energieE. Exprimer Ω en fonction de N etM.
3.Entropie microcanonique.
a) D´eduire l’expression de l’entropie microcanonique S en fonction deN et M (on utilisera la formule de Stirling lnN!'NlnN −N pour N 1).
b) CalculerSpourM =Mmin,M =MmaxpuisM = (Mmin+Mmax)/2. Interpr´eter ces r´esultats.
4.Temp´erature microcanonique.
a) Calculer la temp´eratureT du syst`eme.
b) Tracer l’allure deS en fonction de M (i.e.de E), puis l’allure deT.
2 Contact thermique entre deux syst` emes de spins
I.On consid`ere un syst`emeSAisol´e, constitu´e deN = 4 spins interagissant faiblement et soumis
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a un champ magn´etiqueB. Lorsqu’un spin est align´e (↑) avec le champ son ´energie vaut↑ =−0 et lorsqu’il est anti-align´e (↓) son ´energie vaut↓ = +0, o`u0>0. On poseE =M 0 o`uM ∈Z. On note n↑ (resp. n↓) le nombre de spins up (resp. down).
1.a) Lorsque le champ magn´etique est nul (0= 0), quel est le nombre Ω0 de micro´etats ? b) Si 0 6= 0, quel est le nombre Ω(E, N) de micro´etats accessibles ?
2. Pour le syst`eme SA de N = 4 spins (s1, s2, s3, s4), faire un tableau ´enum´erant tous les micro´etats possibles [(↑↑↑↑),...] ainsi que l’´energie du syst`eme EA correspondante.
3.On consid`ere le cas o`u EA=−20.
a) Quel est le nombre de micro´etats Ω(EA=−20, N = 4) ?
b) Quelle est la probabilit´e de se trouver dans le micro´etat (↑↓↑↑) ? c) Quelle est la probabilit´e pour que le spin s1 soit up : Proba(s1 =↑) ? d) Quelle est la valeur moyenne d’un spinhsii?
4.Reprendre les questions de 3 lorsqueEA= 0.
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II. On consid`ere maintenant un deuxi`eme syst`eme SB constitu´e d’un unique spin s5.
1. Syst`emes s´epar´es. Dans un premier temps les deux sous-syst`emes sont s´epar´es. Le syst`eme SA a une ´energie EA = −20. SB un ´energie EB = +0. Quels sont les nombres de micro´etats ΩA et ΩB des deux sous-syst`emes ? Quel est le nombre de micro´etats Ω du syst`eme total ?
2. Contact thermique. Dans un second temps on ´etablit le contact thermique : on autorise des
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echanges d’´energie entre les deux sous-syst`emes. L’´energie totale Etot =EA+EB = −20+0
reste constante mais les ´energies de chaque sous-syst`eme peuvent fluctuer.
a) Quel est le nombre de micro´etats Ω0 du syst`eme SA+SB?
b) ´Enum´erer tous les micro´etats d’´energie Etot=−0. Quelle est la probabilit´e pour que SAait une ´energie donn´ee : Proba(EA=M 0) pour M = 4,2,0,−2,−4 ?
c) Quelle est la valeur moyenne de l’´energie de SA :hEAi? Et hEBi? Calculer les fluctuations de l’´energie deSA :
EA2
− hEAi2?
3.Comment a vari´e l’entropie lorsqu’on a ´etabli le contact thermique (de 2`a 3) ?
3 Un mod` ele simple de gaz parfait
On consid`ereN mol´ecules d’un gaz contenues dans un volumeV. On suppose que toutes les mol´ecules ont la mˆeme ´energie et l’on oublie les degr´es de libert´e li´es aux vitesses des mol´ecules, ainsi l’espace des phases se r´eduit `a l’espace des positions.
On divise le volume V en p cases identiques, avec N p1.
Unmicro´etatest caract´eris´e par l’ensemble des positions (cases) des N mol´ecules : (i1, i2,· · ·, iN) avec ik∈ {1,· · ·, p}.
Un macro´etat est caract´eris´e par les nombres d’occupation {N1,· · ·, Np} des p cellules (la celluleicontient Ni mol´ecules).
1.Quel est le nombre Ω de micro´etats ?
2. Donner le nombre ΩN1,···,Np de micro´etats dans le macro´etat {N1,· · ·, Np}. Quelle est la probabilit´e de se trouver dans ce macro´etat ?
3. Macro´etat le plus probable. Montrer que la configuration des Nm qui maximise ΩN1,···,Np est N1 =N2 =· · ·=Np.
Indications:
(i) On recherchera le maximum de ln(ΩN1,···,Np), fonction despvariables, sans oublier la contrainte N =N1+· · ·+Np.
(ii) On utilisera la formule de Stirling lnN!'NlnN−N pour N 1.
4. On imagine maintenant que le volume V de d´epart est s´epar´e en deux volumes ´egaux V1 et V2. Si toutes les mol´ecules du gaz sont dans le volumeV1, quel est le macro´etat le plus probable ? Quel est le nombre de micro´etats associ´es `a ce macro´etat ?
5. Comparer les probabilit´es des macro´etats des questions 3 et 4. Quelle exp´erience peut-on interpr´eter `a l’aide de ce r´esultat ?
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