Montrer que R muni de la multiplication matricielle est un groupe

Universit´e Bordeaux Alg`ebre 3 – Licence 2

Math´ematiques Ann´ee 2014–2015

FEUILLE D’EXERCICES n^o 2 Groupes, sous-groupes

Exercice 1 – On note S_n l’ensemble des permutations de {1,2, . . . , n}. On rappelle que muni de la loi ◦,S_n est un groupe.

1) Dresser la table de Cayley de S₃.

2) Montrer que S2 est ab´elien mais que pour n≥3, Sn n’est pas ab´elien.

Exercice 2 – Pour θ∈R, on note R(θ) la matrice de M₂(R) d´efinie par

R(θ) =

cosθ −sinθ sinθ cosθ

.

Soit R = {R(θ); θ ∈ R}. Montrer que R muni de la multiplication matricielle est un groupe.

Est-il ab´elien ?

Exercice 3 – Soit (G,·) un groupe tel que tout ´el´ement de G soit son propre inverse. Montrer que G est ab´elien.

Exercice 4 – Soient E un ensemble et (G, ?) un groupe.

1) On suppose qu’il existe une bijection f de E dans G. On munit E de la loi de composition interne • d´efinie par : six, y ∈E, x•y=f⁻¹(f(x)? f(y)). Montrer que (E,•) est un groupe.

2) On suppose cette fois-ci que l’on a une bijection g de Gdans E. Comment d´efinir une loi de groupe sur E `a partir deg et ??

3) On munit R de la loi d´efinie par : si x, y ∈ R, xy = (x²⁰¹⁵ +y²⁰¹⁵)^1/2015. Est-ce que (R,) est un groupe ?

Exercice 5 –

1) On munit G= R\ {1} de la loi d´efinie par x⊕y =x+y−xy. Montrer que (G,⊕) est un groupe ab´elien.

2) Mˆeme question avec G=]−1,1[ muni de x⊕y= x+y 1 +xy.

3) Mˆeme question avec G=R² muni de (x, y)⊕(x⁰, y⁰) = (x+x⁰, ye^x0 +y⁰e^x).

Exercice 6 – Soit E un ensemble fini muni d’une loi de composition interne ?associative. On dit qu’un ´el´ement ade E est r´egulier si quels que soientx, y ∈E, on a a ? x=a ? y⇒x=y et x ? a=y ? a⇒x=y. On suppose que tout ´el´ement de E est r´egulier.

1) Soit a∈E. Montrer qu’il existe e∈E tel que a ? e=a.

2) Montrer que pour tout x∈E, on ae ? x=x.

3) Montrer que pour tout x∈E, on ax ? e=x.

4) Montrer que (E, ?) est un groupe.

5) Ce r´esultat subsiste-t-il si on supprime l’hypoth`ese selon laquelle E est fini ? Exercice 7 – Soit (G,·) un groupe.

1) Soit Z ={x∈G; xy=yx pour touty∈G}. Montrer que Z est un sous-groupe deG.

2) Soient H un sous-groupe de G et x ∈ G. Montrer que x⁻¹Hx = {x⁻¹yx; y ∈ H} est un sous-groupe de G.

Exercice 8 – On consid`ere G = GL<sub>2</sub>(Z), l’ensemble des matrices 2×2 `a coefficients entiers, inversibles d’inverses des matrices `a coefficients entiers.

1) Montrer que muni de la multiplication matricielle, G est un groupe non ab´elien.

2) Soit

H = (

1 0 0 1

,

−1 0 0 1

,

1 0 0 −1

,

−1 0 0 −1

) . Montrer que H est un sous-groupe de G. Est-il ab´elien ?

3) Les ensembles suivants sont-ils des sous-groupes de G ? Et, si oui, sont-ils ab´eliens ? S =

( 1 x 0 1

; x∈Z )

, T = (

ε x 0 ε

; =±1, x∈Z )

,

U = (

ε x 0 µ

; ε=±1, µ=±1, x∈Z )

.

4) R´epondre aux questions 1) et 3) avec G⁰ = GL₂(Q) (on remplace Z par Q partout) et les ensembles

V = (

a x 0 −a

; a, x∈Q, a6= 0 )

, W = (

a x 0 b

; a, b, x∈Q, a6= 0, b 6= 0 )

.

Exercice 9 – Soient (G,·) un groupe et H un sous-ensemble non vide de G. On suppose que H est stable pour · : pour tout x et touty∈H, xy∈H.

1) Montrer que H n’est pas n´ecessairement un sous-groupe de G.

2) Montrer que si H est fini, alorsH est un sous-groupe deG.

Exercice 10 – Soit (G,·) un groupe ab´elien d’´el´ement neutre e. Une relation d’´equivalence R sur Gest dite compatible avec la loi · si pour tout (a, b, c, d)∈G⁴,a R b et c R d⇒ac R bd.

1) Montrer que si R est compatible avec ·, la classe dee pour R est un sous-groupe de G.

2) SoitH un sous-groupe deG. Montrer qu’il existe une unique relation d’´equivalenceR surG, compatible avec ·et telle que la classe de e pourR soit H.

3) Montrer qu’alors on peut d´efinir licitement sur G/R une loi de composition interne (encore not´ee·) par Cl(x)Cl(y) =Cl(xy) et que muni de cette loi, G/R est un groupe.

Exercice 11 – Soient (G,·) un groupe etA, B deux sous-groupes de G.

1) Montrer que A∪B est un sous-groupe de Gsi et seulement si A⊆B ouB ⊆A.

2) On pose AB = {ab; a ∈ A, b ∈ B} et BA = {ba; a ∈ A, b ∈ B}. Montrer que les trois propositions suivantes sont ´equivalentes :

(a) AB est un sous-groupe deG ; (b) BA est un sous-groupe deG ; (c) AB=BA.

3) Montrer que si Gest ab´elien, AB est le plus petit sous-groupe de Gcontenant A∪B.

4) Si X est une partie finie de G on note |X| son cardinal. Montrer que si A et B sont finis, alors AB est fini et |AB|= |A| · |B|

|A∩B|.