Universit´e Paris Diderot Alg`ebre
Licence de Math´ematiques Ann´ee 2014-15
A. Prout´e L. Merel DEVOIR `A LA MAISON
A rendre le 21 octobre`
On rappelle qu’il convient de r´ediger les math´ematiques au moyen de phrases.
I
Soit n un entier ≥ 1. Notons µn l’ensemble des racines n-`emes de l’unit´e dans le corps C des nombres complexes.
1. Montrer que µn est un groupe pour la multiplication.
2. Quel est son ordre ?
3. Montrer qu’on a un isomorphisme de groupes Z/nZ→µn. 4. En d´eduire que µn est cyclique d’ordren.
5. Lorsque n= 6, donner tout les morphismes de groupes Z/4Z→µ6.
6. Montrer que µn poss`ede φ(n) g´en´erateurs, o`u φ(n) est l’ordre du groupe multiplicatif (Z/nZ)∗.
7. Montrer que, sinetmsont premiers entre eux, le groupeµnm est isomorphe `aµn×µm. 8. Est-ce encore vrai si n et m ne sont pas premiers entre eux ?
9. Pour p nombre premier divisant n, combien µn a-t-il d’´el´ements d’ordre p ?
10. Pour d nombre entier > 0, montrer z 7→ zd est un morphisme de groupes µn → µn. Donner les ordres de son image et de son noyau.
II
Soit G un groupe. On appelle classe de conjugaison de G l’orbite d’un ´el´ement par l’action de G sur lui-mˆeme par conjugaison. Ainsi, la classe de conjugaison de g ∈G est {hgh−1 ∈G/h∈G}. Soit H un sous-groupe de G d’indice 2.
A partir de la question 5, on raisonnera sans utiliser la classification des sous-groupes` distingu´es des groupes sym´etriques donn´ee en cours.
1. Combien les ensembles G/H et H\G ont-ils d’´el´ements ?
2. Soit g∈G. Si g /∈H, montrer que G−H =gH et que G−H =Hg.
3. En d´eduire que H est distingu´e dans G.
4. Montrer que tout sous-groupe d’indice 2 du groupe sym´etrique Sn est isomorphe au groupe altern´e An.
5. Quel est l’ordre du groupe altern´e A4 ?
6. Soit H un sous-groupe de S4 d’ordre 12. Quel est son indice dans S4 ? 7. Montrer que H est r´eunion de classes de conjugaisons dans S4.
8. ´Ecrire la liste des classes de conjugaison de S4 (on ´ecrit les ´el´ements de S4 comme produits de cycles).
9. Montrer qu’il n’existe qu’une seule r´eunion de telles classes qui donne lieu `a un groupe d’ordre 12.
10. Montrer que H est ´egal `a A4.
