Montrer que {(a,1)| a∈A} est un sous-groupe distingu´e de A×B

Universit´e Denis Diderot 12 octobre 2004

U.F.R. de Math´ematiques M. Fouquet, L. Merel

Licence de Math´ematiques et d’Informatique : Alg`ebre et G´eom´etrie TEST N^o 1

NOM : Pr´enom :

1) SoientGetH deux groupes et soitϕ :G→H un homomorphisme de groupes.

La proposition suivante est-elle vraie : si Gest ab´elien alors H l’est aussi? Si oui d´emontrer le r´esultat, autrement donner un contre-exemple.

2) Montrez que si A et B sont des sous-ensembles de G tels que A ⊆ B alors C_G(B) est un sous-groupe de C_G(A). (On rappelle que pour I sous-ensemble de G, C_G(I) est l’ensemble {g ∈G | ∀i∈I, gig⁻¹ =i}.)

3) SoientA etB deux groupes. Montrer que {(a,1)| a∈A} est un sous-groupe distingu´e de A×B.

4) SoitH un groupe et soit h∈H. Donner un homomorphisme de groupes deZ dans H dont l’image est le sous-groupe engendr´e par h.

5) Soitn = 6. Le groupe di´edral D2n admet-il un sous-groupe d’ordre 5?

6) Soit θ : C^∗ → R^∗ l’application d´efinie parθ(a+bi) = a²+b² avec a, b∈ R.

Montrer queθest un homomorphisme de groupes et d´eterminer g´eom´etriquement le noyau de θ en identifiant les ´el´ements de C^∗ aux points du plan.

R´epondre ci-dessous et au verso en justifiant aussi bri`evement que possible.