On rappelle que et que

Mathématiques I

Préliminaires et objectif du problème

On rappelle que et que

Pour tout entier on note le sous-espace vectoriel de constitué par les polynômes à coefficients complexes de degré inférieur ou égal à . On munit l’algèbre des fonctions à valeurs complexes continues sur le segment de la norme de la convergence uniforme, définie par

.

Tout polynôme de est identifié à la fonction polynomiale qu’il induit sur .

Soit une suite de réels positifs.

• On dit que cette suite est à décroissance rapide si pour tout entier elle est dominée par la suite , c’est-à-dire si

, .

On note l’ensemble des fonctions pour lesquelles il existe une suite de polynômes telle que :

• ,

• la suite est à décroissance rapide.

• On dit que cette suite est à décroissance exponentielle si, pour un certain réel , elle est dominée par la suite géométrique , c’est-à-dire si

, , ,

On note l’ensemble des fonctions pour lesquelles il existe une suite de polynômes telle que :

• ,

• la suite est à décroissance exponentielle.

IN∗ = IN \ 0{ } ZZ∗ = ZZ\ 0{ } .

n∈IN CI_n[ ]X C XI[ ]

n C([–1 1, ],CI)

1 1,

[– ] _∞

f ∈C([–1 1, ],CI)

∀

( ), f _∞ sup

x∈[–1 1, ] f x( )

= C XI[ ]

1 1, [– ]

λ_n ( )_n∈IN

λ_n ( )_n∈IN

k∈IN (n^–k)n∈IN∗

k∈IN

∀

( ) (∃M_k∈IR₊) (∀n∈IN∗) λ_n M_k n^k ---

≤

E_∞ ^f ∈^C([–^{1 1}, ],CI) Q_n

( )_n∈IN

∀n∈IN Q_n∈CI_n[ ]X f –Q_{n ∞}

( )_n∈IN

λ_n ( )_n∈IN

r∈ ]0 1 , [ ( )rⁿ n∈IN

r∈ ]0 1 , [

∃

( ) (∃M∈IR₊) (∀n∈IN) λ_n≤Mrⁿ E_exp ^f∈^C([–^{1 1}, ],CI)

Q_n ( )_n∈IN

∀n∈IN Q_n∈CI_n[ ]X f –Q_{n ∞}

( )_n∈IN

Filière MP

Remarque : Une suite à décroissance rapide (resp. exponentielle) converge vers mais n’est pas forcément décroissante.

L’objectif du problème est de montrer, en utilisant les propriétés des polynômes de Tchebychev établies en Partie I, que les fonctions de l’ensemble sont exac- tement les fonctions de classe sur et de relier les fonctions de l’ensemble aux fonctions dont la série de Taylor

en tout point converge vers sur un voisinage de .

a) Vérifier que si une suite est à décroissance exponentielle alors elle est à décroissance rapide.

b) Vérifier que les ensembles et sont des sous-espaces vectoriels de . Quelle relation d’inclusion existe-t-il entre ces deux sous-espaces ? c)

i) Soit une fonction de classe sur dont toutes les dérivées sont bornées sur par un même réel . Montrer que .

ii) Donner des exemples de fonctions de .

Partie I - Polynômes de Tchebychev

Pour tout entier on pose : .

I.A - Premières propriétés des

I.A.1) Montrer que est une fonction polynomiale à coefficients entiers. Le polynôme associé est encore noté et s’appelle le ième polynôme de Tche- bychev.

I.A.2) Expliciter , , et .

I.A.3) Montrer que pour tout , .

I.A.4) En déduire la parité, le degré et le coefficient dominant de . I.A.5) Écrire un algorithme pour calculer .

On pourra employer le langage de programmation associé au logiciel de calcul formel utilisé ou un langage naturel non ambigu.

0

E_∞

C^∞ [–1 1, ] f

Eexp f

f^{( )n} ( )a ---n! (x–a)ⁿ

n

∑

a∈[–1, ]1 ^{f x}( ) a

E_∞ E_exp C([–1 1, ],CI)

f C^∞ [–1 1, ]

1 1,

[– ] M f∈E_exp

Eexp

n∈IN (∀x∈[–1 1, ]), T_n( )x = cos(narccosx) T_n

T_n

T_n n–

T₁ T₂ T₃ T₄

n∈IN T_n+2( )x = 2xT_n+1( )x –T_n( )x T_n T_n( )X

I.A.6) Montrer que, pour tout , on a : . I.B - Calcul de normes

I.B.1) Calculer .

I.B.2) Montrer que .

I.B.3) En déduire que . I.C - Encadrement de sur I.C.1) Montrer que

. I.C.2) Soit un réel .

a) Montrer qu’il existe , tel que .

b) En déduire que .

I.D - Équation différentielle vérifiée sur par

I.D.1) En dérivant l’égalité valable pour tout réel , trouver une équation différentielle linéaire homogène du second ordre vérifiée sur par .

I.D.2) Soit , . Déduire de la question I.D.1 que .

Montrer que .

Partie II - Application des polynômes de Tchebychev à la majoration des polynômes et de leurs dérivées

On introduit la subdivision du segment définie par : , .

Par ailleurs, pour tout on appelle l’ensemble des entiers naturels autres que qui sont inférieurs ou égaux à .

Enfin, pour tout on note

le -ème polynôme élémentaire de Lagrange associé à la subdivision .

T_{n ∞}

∀n∈IN

( ) (∀u∈IR), sinnu ≤nsinu T_n′ _∞ = n²

T_n( )x [1 +∞,,,, ∞∞∞[

r∈IR∗

∀

( ), T_n r+r^–1 ---2

 

  rⁿ+r^–n ---2

= x∈[1 +, ∞[

r∈IR∗ x r+r^–1 ---2

= 1≤T_n( )x ≤x + x²–1ⁿ

IR T_n

T_n(cost) = cosnt t∈[0,π] IR T_n

k∈IN k≤n T_n^{( )k}( )1 n

n+k

--- (n+k)! n–k ( )! --- 2^kk!

( )2k! ---

=

T_n^{( )k}( )–1 = ( )–1 ^n+kT_n^{( )k}( )1

σ = (a₀, , ,a₁ … a_n) [–1,1]

∀j∈[0,n] a_j 1 j n---

 – 

  π

cos

=

i∈[0,n] E_i = [0,n] \ { }i

i n

i∈[0,n]

L_i( )X

X–a_j

( )

j

∏

a_i–a_j

( )

j

∏

---

=

i σ

II.A - Majoration d’un polynôme sur

II.A.1) Résoudre sur l’équation et calculer pour , pour puis pour .

II.A.2) Montrer que

.

II.A.3) On suppose que . Montrer que .

II.A.4) Soit un polynôme appartenant à . Montrer que , .

II.B - Majoration des dérivées successives d’un polynôme sur II.B.1) On suppose que . Montrer que :

, .

II.B.2) Soit un polynôme appartenant à . Montrer que :

, , .

II.C - Majoration des dérivées successives d’un polynôme sur Soit . On considère un entier .

II.C.1) On pose

, avec

si et si .

Montrer que :

.

II.C.2) En déduire que .

II.C.3) Montrer que :

et que, si , on a la majoration plus fine .

1 – ,1

[ ] T_n( )x = 1 T_n′ (a_j)

j = n j = 0 j∈[1,n–1]

T_n( )X ( )–1 ^n–iL_i( )X

i=0

∑

=

x∈[1 +∞, [ T_n( )x L_i( )x

i=0

∑

=

P X( ) CI_n[ ]X

∀x∈[1 +, ∞[

( ) P x( ) ≤ P _∞x + x²–1ⁿ

[1 +,,,, ∞∞∞∞[ x∈[1 +∞, [

∀k∈[1,n]

( ) T_n^{( )k}( )x L_i^{( )k}( )x

i=0

∑

=

P X( ) CI_n[ ]X

∀k∈[1,n]

( ) (∀x∈[1 +∞, [) P^{( )k}( )x ≤ P_∞T_n^{( )k}( )x

1 – ,,,,1

[ ]

P∈CI_n( )X k∈[1,n]

λ

∀ ∈[–1,1]

( ) P_λ( )X P λ ε+

---2 X λ ε– ---2

 + 

 

=

ε = 1 λ∈[0 1, ] ε = –1 λ∈[ 1– ,0[

P_λ^{( )k}( )1 λ +1 ---2

 

 ^kP^{( )k}( )λ

=

P^{( )k} ∞≤2^kT_n^{( )k}( )1 P _∞

P^{( )k} ∞ 2^2k k!

( )2k! ---(n+k)!

n–k ( )! --- P _∞

≤

k = 1 P′ _∞≤2n² P _∞

Partie III - Détermination de l’ensemble

On note l’algèbre des fonctions -périodiques et continues sur , à valeurs complexes. On munit de deux normes, la norme quadratique définie pour , par

induite par le produit scalaire hermitien :

et la norme de la convergence uniforme définie par

Pour tout entier on pose : . On rappelle que la famille

est une famille orthonormale de l’espace préhilbertien et que, pour tout , le ième coefficient de Fourier d’une fonction est le com- plexe

.

Pour tout entier on note le sous-espace vectoriel de engendré par les fonctions où :

; . Soit . Pour tout entier , on note

le ième polynôme trigonométrique de Fourier de . III.A - Propriétés liées aux normes et

III.A.1) On suppose que la série converge.

Montrer que la suite converge uniformément sur vers . III.A.2) Soit muni de la norme quadratique . On rappelle que est la projection orthogonale de sur . En déduire que :

, .

III.A.3) On suppose que la fonction est de classe sur , avec . Montrer que :

, .

EEE E∞∞∞∞

C_2π 2π IR

C_2π N₂

ϕ∈C_2π

N₂( )ϕ 1 2π

--- ϕ( )t ²

π –

∫

 

 

1 2---

= ϕ ψ

( ) 1

2π

--- ϕ( )tψ( )tdt

π –

∫

=

N_∞ N_∞( )ϕ sup

t∈[–π,π] ϕ( )t .

=

k∈ZZ e_k tae^ikt ( )e_kk∈ZZ

C_2π,N₂

( )

k∈ZZ k– ϕ∈C_2π

c_k( )ϕ (e_k ϕ) 1 2π--- ϕ

π –

∫

= =

n∈IN τ_n C_2π

e_k k∈[–n,n]

τ_n = vect(e_–n, , , ,… e₀ … e_n) dim( )τ_n = 2n+1

ϕ∈C_2π n∈IN

S_n( )ϕ c_k( )eϕ _k

k=–n

∑

= n– ϕ

N₂ N_∞∞∞∞

c_n( )ϕ + c_–n( )ϕ

( )

n

∑

S_n( )ϕ

( )_n∈IN IR ϕ

ϕ∈C_2π N₂ S_n( )ϕ

ϕ τ_n

ω

∀ ∈τ_n \ {S_n( )ϕ }

( ) N₂(ϕ ω– )>N₂(ϕ–S_n( )ϕ)

ϕ∈C_2π C^p IR p≥1

∀k∈ZZ^*

( ) c_k( )ϕ N_∞(ϕ^{( )p}) k^p ---

≤

III.B - Étude d’une application linéaire

On rappelle que est muni de la norme . On note l’application linéaire qui à toute fonction de , associe la fonction de

définie par .

Montrer que est injective et calculer la norme subordonnée de lors- que l’on munit de la norme puis la norme subordonnée de lors- que l’on munit de la norme .

III.C - Propriétés liées aux coefficients de Fourier d’une fonction Dans cette section on considère une fonction fixée dans . III.C.1) Vérifier que .

III.C.2) Soit une suite de polynômes telle que pour tout on ait . Montrer que :

, . III.C.3) Pour tout entier on pose :

, . Montrer que :

.

III.C.4) On suppose que la série converge. Montrer que : .

III.D - Développement en série de Tchebychev d’une fonction de On suppose dans cette question que est une fonction de l’ensemble . III.D.1) Montrer que la suite est à décroissance rapide.

III.D.2) Montrer que :

, et que la série de fonctions converge normalement sur .

C([–1,1],CI) _∞ L

f C([–1,1],CI) Lf C_2π

∀t∈IR Lf t( ) = f(cost)

L L _∞ L

C_2π N_∞ L ₂ L

C_2π N₂

Lf f C([–1,1],CI)

c_–k(Lf) = c_k(Lf) Q_n

( )_n∈IN n∈IN

Q_n∈CI_n[ ]X

∀k≥2

( ) c_k(Lf) 1 2

--- f –Q_{k–1 ∞}

≤

n∈IN

∀x∈[–1,1]

( ) U_n( )f ( )x = S_n(Lf)(arccosx)

U_n( )f c₀(Lf) 2 c_k(Lf)T_k

k=1

∑

+

=

c_k(Lf)

k

∑

f –U_n( )f _∞ 2 c_k(Lf)

k=n+1 +∞

∑

≤

f EEEE_∞∞∞∞

f E_∞

c_n(Lf) ( )_n∈IN

∀x∈[–1,1]

( ) f x( ) c₀(Lf) 2 c_n(Lf)T_n( )x

n=1

∑

+

=

1 – ,1

[ ]

III.D.3) En déduire que est de classe sur et que : , ,

III.E - Achèvement de la détermination de l’ensemble

On suppose dans cette question que est une fonction de classe sur . III.E.1) Montrer que la suite est à décroissance rapide.

III.E.2) En déduire que .

Partie IV - Étude de l’ensemble

IV.A - Caractérisation des éléments de l’ensemble

IV.A.1) Soit une fonction de . Montrer que les assertions suivan- tes sont équivalentes :

a) .

b) La suite est à décroissance exponentielle.

IV.B - Développement en série de Tchebychev d’une fonction de On suppose dans cette question que est une fonction de l’ensemble . Il existe donc un réel tel que :

, , .

IV.B.1) Justifier le fait que :

, , que la série de fonctions converge normalement sur , que est de classe

sur et que :

, , .

IV.B.2) En déduire que

, , avec .

IV.C - Développement en série de Taylor au voisinage de tout point d’une fonction de

On conserve les mêmes hypothèses qu’à la question précédente pour . Soit un point .

f C^∞ [–1,1] k∈IN

∀

( ) (∀x∈[–1,1]) f^{( )k}( )x 2 c_n(Lf)T_n^{( )k}( )x

n=1 +∞

∑

=

E EE E_∞∞∞∞

f C^∞ [–1,1]

c_n(Lf) ( )_n∈IN f ∈E_∞

E E E Eexp

E EE E_exp f C([–1,1],CI)

f ∈Eexp

c_n(Lf) ( )_n∈IN

f EEEEexp

f Eexp

r∈]0 1, [

∃M∈IR₊

( ) (∀n∈IN) c_n(Lf) ≤Mrⁿ

∀x∈[–1,1]

( ) f x( ) c₀(Lf) 2 c_n(Lf)T_n( )x

n=1

∑

+

=

1 – ,1

[ ] f

C^∞ [–1,1]

∀k∈IN

( ) (∀x∈[–1,1]) f^{( )k}( )x 2 c_n(Lf)T_n^{( )k}( )x

n=1 +∞

∑

=

∀k∈IN

( ) f^{( )k} ∞ 2M 1–r --- k!

λ( )r [ ]^k ---

⋅

≤ λ( )r (1–r)²

---4r

=

a∈∈∈∈[–1,,,,1] f EEEEexp

f a∈[–1,1]

Montrer que la série de Taylor :

de au point converge vers sur le voisinage du point .

IV.D - Inclusion stricte entre et Montrer que la fonction définie par

, et

appartient à mais n’appartient pas à .

IV.E - Réciproque partielle concernant la détermination de l’ensemble Soit une fonction à valeurs réelles ou complexes développable en série entière sur un intervalle ouvert , avec . Montrer que la restriction de au segment appartient à .

••• FIN •••

f^{( )n}( )a ---n! (x–a)ⁿ

n

∑

f a f x( ) [–1,1]∩]a–λ( )r,a+λ( )r[ a

EEE

Eexp EEEE_∞∞∞∞ f

∀x∈[–1,1] \ 0{ }

( ) f x( ) exp 1

x² ---

(– )

= f( )0 = 0

E_∞ Eexp

EEE Eexp

f

]–ρ,ρ[ ρ>1 f

–1,1

[ ] E_exp