FONCTIONS
Table des matières
I Rappels 1
I.1 Courbe représentative d’une fonction . . . 1
I.2 Lecture d’une image ou d’un antécédent à partir d’une courbe . . . 2
I.3 Fonction croissante et décroissante . . . 3
I.4 Tableau de variations d’une fonction . . . 3
I.5 Extremum d’une fonction . . . 4
I.6 Tableau de signes d’une fonction . . . 4
II Fonctions de référence 4 II.1 Graphique . . . 4
II.2 Fonction affine . . . 5
II.3 Fonction carré . . . 6
II.4 Fonction inverse . . . 6
II.5 Fonction cube . . . 7
II.6 Fonction racine carrée . . . 7
II.7 Fonction valeur absolue . . . 7
III Fonction composée 8
⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
Dans tout le chapitre, on munit le plan d’un repère (O;−→ı ;−→)
I Rappels
I.1 Courbe représentative d’une fonction
Pour tracer la courbe représentative d’un fonction, on commence par faire un tableau de valeurs, puis on place chacun des points dans un repère
Exemple 1
On souhaite tracer la courbe représentative de la fonction f définie surRpar :f(x) = 5x x2+ 1
➔ On commence par compléter un tableau de valeurs :
x −3 −2,5 −2 −1,5 −1 −0,5 0 0,5 1 1,5 2
f(x) −1,5 −1,7 −2 −2,3 −2,5 −2 0 2 2,5 2,3 2
➔ Puis on place les pointsM(x;f(x))dans le repère ci-dessous :
1 2
−1
−2
−3
1 2 3
−1
−2
−3
Cf
➔ Le point de coordonnées
10 0,5
n’est pas sur la courbe représentative de la fonctionf carf(10) = 0,4956= 0,5
I.2 Lecture d’une image ou d’un antécédent à partir d’une courbe Lire l’image d’un nombre :
1 2 3 4
−1 1 2
−1
−2
−3
on placex sur l’axe des abscisses on se déplace verticalement pour rencontrerCf
on lit f(x)sur l’axe des ordonnées L’image de1 parf est −2
Trouver l’(les)antécédent(s) d’un nombre
1 2 3 4
−1 1 2
−1
−2
−3
on trace une horizontale passant par cette valeur
à partir des points d’intersection, on se déplace verticalement vers l’axe des abscisses pour lire
les antécédents
Les antécédents de 1 parf sont0 et4
I.3 Fonction croissante et décroissante
Définition 1
➤ On dit que la fonctionf est croissante sur un intervalleI si quels que soient les réelsx1 et x2 dans I tels quex1≤x2, on af(x1)≤f(x2)
➤ On dit que la fonction f est décroissante sur un intervalle I si quels que soient les réels x1
etx2 dans I tels quex1≤x2, on af(x1)≥f(x2)
Donner les variations d’une fonction signufie préciser sur quels intervalles la fonction est croissante, puis sur quels intervalles la fonction est décroissante
1 2 3 4 5 6
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4
−1
−2
−3 Cf
Exemple 2
➔ Cette fonctionf est croissante sur[−3; 2 ]et sur[ 5; 7 ], décroissante sur[−5;−3 ]et sur[ 2; 5 ]
➔ On peut écrire :f croissante sur[−3; 2 ]∪[ 5; 7 ], décroissante sur[−5;−3 ]∪[ 2; 5 ]
I.4 Tableau de variations d’une fonction
Le tableau de variations d’une fonction est un tableau synthétique regroupant les informations concer- nant les variations de la fonction
Exemple 3
Le tableau de variations de la fonctionf est :
x −5 −3 2 5 7
4 4 0
f(x) ց ր ց ր
−1 −2
I.5 Extremum d’une fonction
Définition 2
➤ On dit que la fonction f admet un maximum M sur un intervalle I, atteint en x0 si, quel que soit le réelx dansI, on af(x)≤f(x0) =M
➤ On dit que la fonctionf admet un minimummsur un intervalle I, atteint enx0 si, quel que soit le réelx dansI, on a f(x)≥f(x0) =m
Exemple 4
➔ Le maximum def sur[−5; 7 ]estM = 2, atteint pourx=−5etx= 2
➔ Le minimum def sur[−5; 7 ]estm=−2, atteint pourx= 5
Attention, la valeur d’un extremum dépend de l’intervalle !
Par exemple, le minimum de f sur [−5; 2 ]est m=−1, atteint pourx=−3
I.6 Tableau de signes d’une fonction
On réuni au sein d’un tableau appelé tableau de signes les informations concernant le signe de la fonction f, c’est à dire sa position par rapport à l’axe des abscisses
Exemple 5
Le tableau de signes de la fonctionf est :
x −5 −4 −1 4 7
signe def(x) + 0 − 0 + 0 − 0
II Fonctions de référence
II.1 Graphique
1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−2
−3
−4
−5
f(x) =x2
f(x) = 1 x
f(x) =x3
f(x) =√ x f(x) =|x|
II.2 Fonction affine
Définition 3
Soientaetb deux réels. La fonction définie sur Rparf(x) =ax+best appelée fonction affine
Remarque 1
• Sib= 0, la fonctionf définie parf(x) =ax est une fonction linéaire
• Sia= 0, la fonction f définie parf(x) =best une fonction constante
Propriété 1
Soitf une fonction affine définie par f(x) =ax+b, alors :
♦ Sia >0,f est croissante surR
♦ Sia <0,f est décroissante sur R
♦ Sia= 0,f est constante surR
Exemple 6
➔ La fonctionf définie parf(x) = 3x+ 2est croissante
➔ La fonctionf définie parf(x) =−2x+ 3 est décroissante
➔ La fonctionf définie parf(x) = 5est constante
La représentation graphique d’une fonction affine est une droite
0 1
1
d2
d1
d3
Représentation graphique des fonctions f1,f2 etf3 d’équations :
• f1(x) =x+ 1
• f2(x) =−2
• f3(x) =−2x
II.3 Fonction carré
Définition 4
La fonction définie surRparx7−→x2 s’appele la fonction carré
Propriété 2
La fonction carré est strictement décroissante sur−∞0 et strictement croissante sur 0+∞
Tableau de variations :
x −∞ 0 +∞
+∞ +∞
f ց ր
0
Dans un repère (O;−→ı;−→), la courbe représentative de la fonction carré est une parabole de sommet O Remarque 2
Cette parabole admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie, ce qui caractérise une fonction paire.
II.4 Fonction inverse
Définition 5
La fonction définie surR∗= ] − ∞; 0 [ ∪ ] 0 ; +∞[parx7−→ 1
x est appelée fonction inverse
Propriété 3
La fonction inverse est strictement décroissante sur] − ∞; 0 [ et sur] 0 ; +∞[
Tableau de variations :
x −∞ 0 +∞
0 +∞
f ց ց
−∞ 0
Dans un repère(O;−→ı ;−→ ), la courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole de centre O Remarque 3
Cette hyperbole admet l’origine O du repère comme centre de symétrie, ce qui caractérise une fonction impaire
II.5 Fonction cube
Définition 6
La fonction définie surRparf :x7−→x3 est appelée fonction cube
La fonction cube est strictement croissante sur R et impaire
La courbe représentant la fonction cube dans un repère orthogonal est appelée cubique
x −∞ 0 +∞
+∞ ր
f 0
ր
−∞
II.6 Fonction racine carrée
Définition 7
La fonction définie surR+= 0+∞ parf :x7−→√x est appelée fonction racine carrée
La fonction racine carrée est strictement crois- sante sur0+∞
x 0 +∞
+∞
f ր
0
II.7 Fonction valeur absolue
Définition 8
La fonction définie surRparf :x7−→ |x|est appelée fonction valeur absolue
La fonction valeur absolue est strictement dé- croissante sur−∞0et strictement croissante sur 0+∞
La courbe représentatve de la fonction valeur absolue est une fonction affine par morceaux
x −∞ 0 +∞
+∞ +∞
f ց ր
0
III Fonction composée
Définition 9
Soient f et g deux fonctions, la fonction h qui a x associe g(f(x)), est notée g◦f et est appelé composée def suivie deg
Exemple 7
Soitf la fonction affine définie surRparf(x) =−x+ 1, etg la fonction définie surRparg(x) =x2
Déterminer l’image du nombre 3par la fonctionh, composée def suivie de g, puis donner l’expression générale de h en fonction de x
➔ 37−→f f(3) =−3 + 1 =−27−→g g(−2) = (−2)2= 4 Ainsi, on a h(3) =g(f(3)) = 4.
➔ x7−→f f(x) =−x+ 17−→g g(−x+ 1) = (−x+ 1)2 Ainsi, on a h(x) =g(f(x)) = (−x+ 1)2
Remarque 4
En général la fonction f suivie de g n’est pas égale à la fonction g suivie def
Exemple 8
On a vu que la fonction composée def suivie de gde l’exemple précédent est définie par g(f(x)) = (x−1)2 Par contre, la fonction composée de gsuivie de f est différente :
➔ x7−→g g(x) =x27−→f f(x2) =−x2+ 1
➔ Ainsi, on af(g(x)) =−x2+ 1 et on peut constater quef(g(x))6=g(f(x)
Propriété 4
♦ La composée de deux fonctions croissantes ou décroissantes est croissante
♦ La composée d’une fonction croissante et d’une fonction décroissantes est décroissante
Exemple 9
Si on reprend les fonctionsf etg précedentes, alors :
➔ SurR+,f est décroissante etg est croissante, la composée est donc décroisante.
➔ SurR−,f etg sont toutes deux décroissantes, la composée est donc croisante
