Chapitre 1
Dérivation
A Rappels
Dénition Soit f une fonction dénie sur un intervalle I et soit a un réel de I. On dit que f est dérivable en asi il existe un réelLtel que :
h→0lim
f(a+h)−f(a)
h =L
Le nombreLest appelé nombre dérivé de f en aet est notéf0(a).
Sif est dérivable enapour toutadansI, on dit quef est dérivable surI. On note alorsf0 la fonction dénie surI par
f0:x7→f0(x) Cette fonction est la fonction dérivée def surI.
Proposition Voir les fonctions dérivées des fonctions usuelles page 94 Proposition Soituet vdes fonctions dérivables sur un intervalle I. Alors :
1. la fonction u+v est dérivable enI et(u+v)0 =u0+v0 2. la fonction uvest dérivable enIet uv=u0v+uv0
En particulier :
(a) siv=λ(λréel donc fonction constante de dérivée nulle) :(λu)0 =λu0 (b) siv=u: (u2)0= 2uu0
3. Siv ne s'annule pas surI, alors u
v est dérivable surIet u v
0
= u0v−uv0 v2 . en particulier (siu= 1) :1
v 0
=−v0 v2.
→Exercices 6,7,9p110 (calculs de dérivée) Activité che sur la fonction tangente
B Approximation ane
Proposition Soitf dénie sur un intervalleI contenant un réelatelle quef est dérivable en a. Alors la courbe représentative def admet une tangente en(a;f(a))dénie par l'équation :
y=f0(a)(x−a) +f(a) 1
2 CHAPITRE 1. DÉRIVATION Le coecient directeur de la tangente à la courbe (f0(a)) nous donnant l'évolution de la fonction, on a la propriété :
Proposition Soitf une fonction dérivable sur un intervalleI 1. Sif0(x)>0surI alorsf est strictement croissante surI 2. Sif0(x)<0surI alorsf est strictement décroissante surI 3. Sif0(x) = 0surI alorsf est constante surI
Remarque Pour les deux premiers cas, sif0 s'annule en un nombre ni de points deI, cela ne change pas la stricte monotonie def.
Voir :p96 : extremum local
Remarque (et dénition) Enx=a+h, l'équation de la tangente nous donney=f0(a)h+f(a). C'est l'approximation ane def(a+h)pour hproche de0 associée à la fonctionf.
Proposition Sif est dérivable en un réeladeI, alors il existe une fonction telle que f(a+h) =f(a) +hf0(a) +h(h)et lim
h→0(h) = 0
Écriture diérentielle : On af(a+h)−f(a) =hf0(a)+h(h)d'après la propriété précédente. En physique on note∆y= ∆xf0(a) + ∆x(∆x).
∆y représente la variation en ordonnée,∆xreprésente la variation en abscisse ((x+h)−x=h). Lorsque
∆x (autrement dith) tend vers 0, (∆x)devient 'négligeable'. Les variations devenant très petites, on échange le∆end. On exprime alors de façon symbolique :
dy=f0(a)dx
Il s'agit de l'écriture diérentielle (due à Leibniz).
Remarque Parfois on va jusqu'à noter dy
dx =f0(x)
→Exercices 15p110 (signe de f0 à partir du graphe def), 16p110 (variation de f à partir du graphe def0)
→Exercice 17p110 (étude de fonction)
C Dérivation d'une fonction composée
Proposition Soit v une fonction dérivable sur I, à valeurs dans J. Soit u dérivable sur J. Alors la fonction composéeu◦v est dérivable surI et :
(u◦v)0(x) =v0(x)×u0(v(x))
Idée de preuve : ...
Remarque Un moyen mnémotechnique pour retrouver la formule : on utilise la notation y =v(x) et Y =u(y). Alorsdy=v0(x)dx puisdY =u0(y)dy=u0(v(x))v0(x)dx
En conséquence on obtient les formules suivantes :
Proposition Soitudérivable surI. Alors les fonctions suivantes sont dérivables surI de dérivée :
C. DÉRIVATION D'UNE FONCTION COMPOSÉE 3
fonction dérivée
un (n≥2) nu0un−1
√u(siu >0) u0 2√ u sin(u) u0×cos(u) cos(u) −u0×sin(u) tan(u) u0×[1 + tan2(u)]
→Exercices 26p112, 27p112 (calculs de dérivées)
