ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Maison 6 8 janvier 2018
Ex I : obligatoire, pour tout le monde
Ex II à V : un exercice au choix, au minimum
Exercice I.
On considère la fonctionf dénie surR∗+ par f(x) =xx1 =eln(x)x . 1. Justier brièvement la continuité de f surR∗+.
2. a. Calculer lim
x→0+f(x). b. Que peut-on en déduire ? 3. a. Calculer lim
x→+∞f(x). b. Que peut-on en déduire ? 4. Pourx >0, calculerf0(x).
5. Etudier le signe def0, et en déduire le tableau de variations de f surR∗+. 6. Tracer l'allure de la courbe représentative de f.
Exercice II.
Calculer2 limites :
x→+∞lim (x3−x2ln(x)) (réservé DS2 < 7) lim
x→0+
ln(1−3x)
x2 (réservé DS2 < 12)
x→+∞lim (x3)x
(3x)3 (réservé DS2 ≥ 7)
x→1lim
xln(x)
1−x2 (réservé DS2 ≥ 12)
Exercice III.
Le langage binaire est utilisé par l'ordinateur pour comprendre et traiter les données.
Un mot de longueurn∈N∗ est une suite den chires, constituée de0 ou de1. Par exemple”01011” et”10110”sont deux mots distincts, de longueur 5.
Les réponses apportées aux questions suivantes devront être brièvement justiées.
Déterminer le nombre de mots : 1. de longueurn.
2. de longueur8 contenant exactement trois0. 3. de longueur11 contenant au plus un 0.
4. de longueur10 ne contenant jamais deux1 consécutifs.
Exercice IV.
Créer un programme qui trouve les entiers naturels inférieurs à99999 égaux à la somme des puissances 4e de leurs chires.
(On pourra éventuellement utiliser les commande "oor" et "modulo" pour récupérer les chires d'un nombre donné.)
1/2
Exercice V.
1. Une forêt se compose de trois types d'arbres : 35% sont des chênes, 40% des sapins, et 25% des bouleaux.
Suite à une tempête, une maladie se déclare et touche 8% des chênes, 15% des sapins, et 2% des bouleaux.
On dénit les évènementsM,C,S,B correspondant à {l'arbre est malade (resp. un chêne, un sapin, un bouleau)}.
a. Calculer la probabilité qu'un arbre soit malade.
b. Sachant qu'un arbre est malade, quelle est la probabilité que ce soit un chêne ?
2. Une maladie est présente dans la population, dans la proportion d'une personne malade sur 50000.
Un test de dépistage est tel que : si une personne est malade, le test est positif à 98%, et si une personne n'est pas malade, le test est positif à 0,01%.
Quelle est la proportion de faux-positifs ? (On pourra utiliser la formule de Bayes.)
2
