MAT244 2010-2011 Feuille d’exercices 3
On rappelle que C([a, b],R) (resp. C([a, b],C) d´esigne l’espace des fonctions continues `a valeurs r´eelles (resp. complexes) d´efinies sur l’intervalle [a, b].
Exercice 1. D´emontrer que chaque application ϕ de la liste suivante est un produit scalaire (hermitien dans le deuxi`eme cas) :
1. ϕ : C([a, b],R)×C([a, b],R) → R, ϕ(f, g) = Rb
a s(x)f(x)g(x)dx o`u s ∈ C([a, b],R) avec s(x)>0 pour tout x∈[a, b].
2. ϕ:C([a, b],C)×C([a, b],C)→C, ϕ(f, g) =Rb
af(x)g(x)dx.
3. ϕ: (P, Q)∈R[X]n×R[X]n7→
n
X
i=0
P(ai)Q(ai)∈Ro`u a0, . . . , an sont des r´eels distincts.
4. ϕ: Mn(R)×Mn(R)→R,(M, N)7→Tr(tM N).
Exercice 2. D´eterminer si les applications suivantes sont des produits scalaires.
1. ϕ:R3×R3 →R, ϕ((x1, x2, x3),(y1, y2, y3)) =x1y1+ 2x2y2+ 9x3y3
2. ϕ:C2×C2 →C, ϕ((x1, x2),(y1, y2)) =x1y2+y2x1−2(x1y1+y1x1) 3. ϕ: (P, Q)∈R[X]n×R[X]n7→
n
X
i=1
P(ai)Q(ai)∈Ro`u a1, . . . , an sont des r´eels distincts.
4. ϕ: (M, N)∈Mn(R)×Mn(R)7→Tr(M N)∈R.
Exercice 3. Pour chaque forme quadratique q de la liste, on appelle b sa forme polaire.
a) Appliquer `a q la r´eduction de Gauss.
b) En d´eduire la signature, le rang de q et une base b-orthogonale.
1. q:R2 →R, q(x, y) =x2+xy+ 3y2, 2. q:R2 →R, q(x, y) =xy,
3. q:R3 →R, q(x, y, z) =x2−2y2+xz+yx, 4. q:R3 →R, q(x, y, z) =xy−yz,
5. q:R[X]2 →R, q(P) = P(1)P(2) +P(1)P(0).
Exercice 4.Utiliser la m´ethode de Gram-Schmidt pour orthonormaliser dansR3avec son produit scalaire usuel la base e1 = (1,1,−1),e2 = (1,−1,1) ete3 = (−1,1,1). Si e′1, e′2, e′3 est la nouvelle base, montrer que la matrice de passage correspondante est triangulaire.
Exercice 5. Pour chaque espace V muni d’un produit scalaire φ :
a) Appliquer la m´ethode de Gram-Schmidt `a la famille F, afin de produire une base or- thonorm´ee pour le sous-espaceW engendr´e par F.
b) Calculer la projection orthogonale de v ∈V sur W.
1. V =R3, φ= produit scalaire usuel,F = ((1,0,−1),(1,−1,0)),v = (1,1,1).
2. V =R4, φ= produit scalaire usuel,F = (u1, u2, u3),v = (1,1,1,1) o`u u1 = (1,1,0,0), u2 = (1,0,−1,1), u3 = (0,1,1,1).
3. V =R3,ϕ((x1, x2, x3),(y1, y2, y3)) = 3x1y1−x1y2−x2y1+3x2y2+3x3y3,F = ((1,0,0),(0,1,0)), v = (0,0,1).
4. V =R[X]3, φ(P, Q) =R1
0 P(x)Q(x)dx, F = (1, X, X2),v =X3. 1
Exercice 6. Soit C([−1,1],R) (l’espace des fonctions continues `a valeurs r´eelles d´efinies sur l’intervalle [−1,1]) muni du produit scalaire hf, gi=
Z 1
−1
f(x)g(x)dx.
1. Utiliser la m´ethode de Gram-Schmidt afin de produire une base orthonorm´ee pour le sous- espaceR[X]2 ⊂C([−1,1],R).
2. Trouver des r´eels a, b, c tels que l’int´egrale R1
−1(ex−ax2 −bx−c)2dx soit minimale.
Exercice 7. Soit R[X]2 l’espace vectoriel des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a deux, on consid`ere sur R[X]2 l’application ∆ qui `a un polynˆome P(X) = aX2 +bX +c associe son discriminant ∆(P) = b2−4ac.
1. Montrer ∆ est une forme quadratique et donner sa forme polaire.
2. Donner la matrice de la forme polaire b dans la base canonique B0 = (1, X, X2).
3. Montrer que pour tout polynˆome P(X) =aX2+bX+c deR[X]2, on peut ´ecrire :
∆(P) = b2+ (a−c)2−(a+c)2.
4. Montrer que la famille de vecteurs B1 = (12(X2−1), X,12(X2+ 1)) est une base de R[X]2. 5. Donner la matrice de passage de la base B0 `a la base B1.
6. Donner les coordonn´ees du polynˆome P(X) =aX2+bX+cdans la base B1. 7. Donner la matrice de la forme polaire b dans la base B1.
8. Exprimer ∆(P) en fonction des coordonn´ees deP dans la base B1. 9. Donner le rang et la signature de ∆.
Exercice 8. Pour chaque matrice sym´etrique suivante, d´eterminer les valeurs propres et une matrice orthogonale P de changement de base qui la diagonalise :
A1 =
1 1 1 1 1 1 1 1 1
A2 =
1 0 2 0 2 0 2 0 1
A3 =
5 −1 2
−1 5 2
2 2 2
.
Exercice 9. R´eduire les formes quadratiques suivantes avec des changements de base orthogo- naux.
1. q(x, y, z) =x2+y2+z2−2xy−2xz−2yz.
2. q(x, y, z) = 2x2+ 4y2+z2+ 4xy−2√
2xz+ 4√
2yz. (`a revoir : infaisable) Exercice 10.Trouver le genre des coniques suivantes :
1. x2−xy+y2−3x+ 2y−1 = 0 2. 3x2 + 5xy+ 2y2+ 2x+y−1 = 0
Exercice 11. Trouver les ´equations r´eduites dans des rep`eres orthonorm´ees des coniques sui- vantes.
1. x2−xy+y2+x+y= 0, 2. xy+ 2x+y= 0,
3. x2−2xy+y2−10x−6y+ 25 = 0, 4. 4x2 + 12xy+ 9y2−8x−12y−5 = 0,
5. 5x2 −6xy+ 5y2+ 2x−14y+a= 0 selon le param`etre a, 6. 15x2+ 24xy+ 15y2+ 30x−24y+ 20 = 0,
7. 15x2−16xy−15y2−62x−44y−13 = 0.
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