FONCTIONS A VALEURS COMPLEXES

FONCTIONS A VALEURS COMPLEXES

1) COMPLEMENTS SUR LES SUITES DE REELS.

A) Introduction.

Une suite infinie à valeurs réelles n’est après tout qu’une fonction à valeurs dans R dont l’ensemble de définition est N ou plus généralement une partie du type N∩[n0 , +∞[ . A ce titre, tous les résultats concernant les fonctions de variable et d’image réelles pourront être utilisés, notamment ceux relatifs à l’étude des limites en +∞.

Rappelons en particulier deux résultats essentiels.

_ Le théorème de limite monotone, assurant la convergence de toute suite croissante majorée et de toute suite décroissante minorée.

_ Le théorème d’encadrement, assurant la convergence vers le réel l de toute suite à valeurs dans R minorée et majorée par deux suites respectives de même limite l.

Si les principes de base sont identiques, il existe par rapport au cadre général une différence appréciable dans la conduite des calculs pour les suites dites définies de proche en proche.

On ne dispose pas en effet dans ce cas d’un accès direct au terme xn de rang n quelconque par une formule classique de type fonctionnel : n ax_n= f(n).

Les vérifications de la monotonie, les majorations ou minorations devront être établies le plus souvent à l’aide du principe de récurrence. Certains processus de démonstration se retrouvent alors assez souvent et peuvent être érigés en principes fondamentaux permettant de conclure rapidement la convergence des suites satisfaisants aux schémas généraux correspondants.

Nous allons en décrire deux principaux ne faisant qu’utiliser, sous une forme particulière, les deux théorèmes essentiels rappelés plus haut.

B) Schéma des suites adjacentes.

Définition : Deux suites à valeurs réelles seront dites adjacentes si et seulement si elles vérifient les trois conditions suivantes :

_ L’une des deux , que l’on appellera suite ‘haute’, majore l’autre, dite suite ‘basse’ . _ La suite haute est décroissante, la suite basse est croissante.

_ La différence entre les deux suites converge vers 0.

Si an désigne le terme général de la suite dite basse et bn le terme général de l’autre suite, les trois conditions se traduisent alors :

_ ∀n ∈N a_n ≤ b_n . _ ∀n ∈N a_n ≤ a_n+1 et b_n+1 ≤ b_n . _ lim_+∞(b_n-a_n)=0

On peut aussi synthétiser cela en écrivant que les segments I_n=[a_n, b_n] sont emboités les uns dans les autres ( ∀n ∈N In+1 ⊂ In ) et que la longueur de ces intervalles tend vers 0.

D’ailleurs, dans la pratique :

_ Les vérifications des deux premières propriétés s’effectueront souvent en établissant par récurrence l’inclusion In+1 ⊂ In .

_ La convergence vers 0 de (bn-an) peut s’établir en justifiant également par récurrence une inégalité du type b_n −a_n ≤ε_n, avec εn terme général d’une suite de limite nulle.

Théorème :

Deux suites de réels adjacentes sont nécessairement convergentes, de limites égales.

Démonstration. Soit n0 un entier donné. On vérifie très facilement par récurrence, à l’aide des deux premières propriétés, que pour tout entier n ≥n0 : .

Il s’agît en fait de l’utilisation répétée de l’emboîtement des segments I I 0

I_n ⊂ _n

n. On en déduit que pour tout indice n ≥ n0 ,

n0

n b

a ≤ .

Cette inégalité sera aussi vraie pour n ≤ n0 à cause de la croissance de la suite basse.

Celle ci s’avère alors croissante et majorée par , donc convergente en vertu du théorème de limite monotone, vers le réel l=sup{a

n0

b

n ; n ∈N}≤ . La suite haute est alors minorée par le réel l (car n

n0

b

0 est quelconque dans la majoration précédente) , décroissante, donc convergente vers l’=inf{b_n ; n ∈N} ≥ l

Remarquons à ce stade que seul le caractère emboîté des In a été utilisé ci dessus et suffit donc pour assurer la convergence des deux suites basse et haute vers des limites respectives l et l’

telles que l ≤ l’.

C’est la troisième hypothèse qui nous permet de conclure la coïncidence de ces limites.

En effet de lim_n→∞(b_n−a_n)=0 on déduit immédiatement d’après les règles opératoires classiques sur les suites convergentes, l’égalité l’-l=0.

C) Schéma du point fixe.

On considère ici un intervalle fermé borné I=[a, b] de R stable pour une fonction de variable réelle f , c’est à dire tel que f(I) ⊂ I.

A partir de toute source x₀ de l’intervalle I on peut alors construire une suite dite des ‘itérés successifs de x0 par f ’ , définis de proche en proche par : ∀n ∈N xn+1= f(xn).

On vérifie alors facilement les propriétés suivantes :

_ Si f est continue sur I=[a, b] , la suite des itérés par f ne peut converger que vers un point fixe l de f , c’est à dire satisfaisant à f(l)=l.

_ Si f est dérivable sur I et s’il existe un réel q de ]0, 1[ tel que ∀x ∈I : f'(x) ≤q, alors f admet un et un seul point fixe l sur I et la suite des itérés par f converge effectivement vers l

Preuves.

a) Supposons que la suite étudiée (que nous nommerons S ) converge vers un réel l.

De l’encadrement : ∀n ∈N a ≤ xn ≤ b , on déduit d’abord par passage à la limite que a ≤ l ≤b.

Ainsi, l appartient à I et f sera par hypothèse continue en ce point. ( ) Examinons alors le comportement à l’infini de la suite S’ défini par : n ax

) ( ) (

lim_x→l f x = f l

n+1, grâce aux deux schémas de composition suivants :

_ S’=S t avec t translation d’indice 1 (shift ou décalage à droite d’indice 1).

n an’=n+1 a o

1 ' = _n+

n x

x

De lim_n→+∞t(n)=+∞ et lim_n'→+∞x_n' =l on déduit : lim_n→+∞x_n+1 =l. _ S’=f _oS n a x_na f(x_n)=x_n+1

De lim_n→+∞x_n =l et lim_x→lf(x)= f(l) on déduit :lim_n→+∞x_n+1 = f(l). De par l’unicité de la limite en un point, on conclût alors l= f(l).

b) La fonction g définie sur I par x ag(x)= f(x)-x est continue comme différence de deux fonctions continues.

Par hypothèse, f([a, b]) ⊂[a, b]. On en déduit g(a)=f(a)-a ≥ 0 et g(b)=f(b)-b ≤ 0 . D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe alors au moins un point l de

l’intervalle I où g s’annule, c’est à dire au moins un point fixe pour f. Montrons l’unicité de l.

La fonction g est dérivable sur I suivant g’(x)=f ’(x)-1 ≤ q-1 < 0. On en déduit que g est strictement décroissante sur I et ne peut donc s’annuler qu’en en seul point de cet intervalle.

Montrons maintenant la convergence effective de la suite des itérés S vers l.

D’après l’égalité des accroissements finis, on peut dire que pour tout x de I il existe un élément c compris entre x et l pour lequel f(x)- f(l)=(x-l)f ’(c).

De l’hypothèse sur la majoration de la valeur absolue de la dérivée sur I on tire alors :

∀ x ∈I : f(x)−l ≤qx−l

Appliqué à x=xn avec n quelconque, cela donne : x_n+1−l ≤qx_n−l

On en déduit facilement par récurrence, que pour tout n entier : x_n −l ≤qⁿ x₀−l

Or puisque q ∈]0, 1[ , la suite de terme général qⁿ converge vers 0. On peut donc conclure à l’aide du théorème d’encadrement, que lim_n→+∞x_n =l

Remarques sur le sens de variations.

Attention aux confusions possibles entre la fonction et la suite des itérés par f.

_ Si la fonction f est croissante sur I, la suite des itérés par f sera monotone, croissante ou décroissante ! Tout dépendra de la position respective des deux premiers termes x0 et x1

En effet si x1 >x0 , l’inégalité xn+1 >xn se maintiendra de proche en proche.

Mais si x₁ <x₀ , la relation x_n+1 <x_n se transmettra aussi indéfiniment par croissance de f sur I _ Si f est décroissante sur I, l’inégalité reliant deux termes successifs va ‘basculer’ à chaque nouveau calcul. Le schéma de la suite sera du type oscillant et non plus monotone.

Il faut donc toujours compléter le sens de variations de f par la position de sa courbe par rapport à la droite d’équation y=x. En effet cette étude précisera le signe de x_n+1-x_n= f(x_n)-x_n Points attractifs, répulsifs.

On peut donner une forme locale du schéma précédent, avec des hypothèses réduites.

L’application f est ici simplement supposée définie sur un intervalle quelconque I, (supposé encore stable pour f) et dérivable en un point fixe l . On dira alors que l est :

_ Attractif pour f si et seulement si f'(l) <1. _ Répulsif pour f si et seulement si f'(l) >1 On démontre alors les résultats suivants :

_ Si l est attractif, il existe un voisinage V de l tel que, quelle que soit la source x₀ choisie dans I∩V, la suite des itérés de x0 par f converge vers l.

_ Si l est répulsif, une suite d’itérés par f ne peut converger vers l que si ses termes coïncident avec l à partir d’un certain rang.

Explications.

a) Supposons l attractif pour f et choisissons un réel q tel que f'(l) <q<1

Puisque f l q

l x

l f x f

l

x = <

−

−

→ ( ) ( ) '( )

lim , on pourra trouver par définition même de la limite, un voisinage V de l centré sur l tel que : ∀ x ∈I∩V-{l} q

l x

l f x

f <

−

− ( ) ) (

On en déduit puisque l est fixe pour f, que pour tout x de I∩V : f(x)−l ≤qx−l

Si la source x0 est choisie dans I∩V, on vérifie alors facilement par récurrence à l’aide de la majoration précédente, que pour tout entier n : x_n∈I∩V et x_n −l ≤qⁿ x₀ −l (1)

En effet la vérification pour n=0 est triviale.

Pour l’hérédité, posons V=]l-α, l+α[ .Des hypothèses xn ∈I ∩V et x_n −l ≤qⁿ x₀−l on déduit aussitôt ; x_n+1−l = f(x_n)− f(l) ≤qx_n−l ≤qⁿ⁺¹ x₀ −l

Comme 0 ≤ q<1 on en tire x_n+1−l ≤ x₀−l <α , ce qui assure l’appartenance de x_n+1 au voisinage V, donc à I ∩V puisque f(I) ⊂ I.

On conclut alors de (1) en utilisant le théorème d’encadrement que . b) Supposons l répulsif et soit q choisi ici tel que

l x_n

n_→+∞ =

lim 1

) (

' l >q>

f

Il existe alors un voisinage V de l tel que : (x ≠ l et x∈I∩V) ⇒ q l

x l f x

f >

−

− ( ) ) ( On en déduit que : (x ≠ l et x∈I∩V) ⇒ f(x)−l >qx−l

Supposons alors une suite d’itérés par f convergent vers l et dont les termes sont tous

différents du point fixe l. Il existerait alors, par définition même de la convergence, un entier n0 à partir duquel tout xn appartiendrait au voisinage V de cette limite l.

On en déduirait alors facilement par récurrence, à partir de la minoration précédente,

que : ∀n ≥n0 x_n −l ≥qⁿ x₀−l . Par suite on aurait puisque q >1, lim_n→+∞ x_n −l =+∞ , ce qui est contraire à la convergence supposée.

Une suite d’itérés par f ne peut donc converger ici vers l que si elle est stationnaire, c’est à dire s’il existe un entier n0 pour lequel x_n =l

0 . Dans ce cas on aura xn=l pour tout entier n supérieur ou égal à n.

2) FONCTIONS A VALEURS COMPLEXES.

Cadre d’étude et notations.

On considérera dans toute la suite des fonctions d’une variable exclusivement réelle et à valeurs dans le corps C des complexes.

Si f est une telle fonction, définie sur un sous-ensemble I de R, on décomposera alors naturellement chaque image f(x) sous la forme algébrique classique f(x)=u(x)+i.v(x) avec u(x) et v(x) réels.

Les deux fonctions x au(x) et x av(x) ainsi définies sur I seront appelées composantes de f.

Plus précisément : u sera appelée partie réelle de f et notée u=Re(f) v sera appelée partie imaginaire de f et notée v=Im(f)

La fonction conjuguée de f sera la fonction notée f définie sur I par x a u(x)-i.v(x) On peut alors écrire :

i f f f

f f f

Re et Im( ) 2

) 2

( = + = −

(On rappelle que l’ensemble des fonctions de I vers C muni des lois somme et produit par un complexe acquiert une structure de C espace vectoriel.)

A) Extension de la notion de limite.

Il existe deux façons principales de généraliser la notion de limite pour des fonctions à valeurs dans C, correspondant aux deux modes essentiels de représentation des complexes.

Pour les illustrer considérons suivant les notations précédentes une fonction f de I vers C et un élément x0 adhérent au sous ensemble I de R.

_ Si on privilégie le mode algébrique traditionnel, correspondant au repérage cartésien, on peut s’intéresser séparément aux deux fonctions composantes respectives u et v de f qui sont à variable et image réelles et étudier leur comportement au voisinage du point d’étude.

Plus précisément on peut poser la première définition suivante : ∀(a, b)∈R×R lim_x→x f(x)=a+ib⇔lim_x→x u(x)=a et lim_x→x v(x)=b

0 0

0 (D₁)

_ Si on adopte plutôt la représentation trigonométrique, c’est à dire le repérage en coordonnées polaires, c’est la notion de distance dans le plan qui va s’imposer On examinera donc la distance de f(x) à la limite complexe éventuelle l=a+ib . Ceci nous conduit à la définition :

lim ( ) lim ( ) 0

0

0 = ⇔ _→ − =

→_x f x l _{x x} f x l

x (D2)

Or les deux définitions introduites ci dessus se révèlent en fait équivalentes. En effet :

1) Supposons que f ait pour limite l=a+ib au sens (D₁) et examinons la distance ente f(x) et l.

De par les propriétés du module : f(x)−l = u(x)−a+i(v(x)−b) ≤ u(x)−a + v(x)−b Mais d’après (D1), lim ( ) 0 et lim ( ) 0

0

0 − = x_→x − =

→_x u x a v x b

x .

On en déduit donc, d’après le théorème de majoration, que lim ( ) 0

0 − =

→_x f x l

x

2) Supposons que f ait pour limite l=a+ib au sens de (D2).

Rappelons que le module d’un complexe quelconque est supérieur à la valeur absolue de sa partie réelle et de sa partie imaginaire ( x+iy = x²+y² ≥ x² = x ).

On peut donc écrire les majorations : u(x)−a ≤ f(x)−l et v(x)−b ≤ f(x)−l

Puisque lim ( ) 0

0 − =

→_x f x l

x , on en déduit que lim ( ) 0 et lim ( ) 0

0

0 − = _→ − =

→_x u x a _{x x} v x b

x

On utilisera donc indifféremment le schéma cartésien ou le schéma polaire pour vérifier qu’une fonction donnée admet pour limite un complexe l en x0.

On choisira bien sûr le mode donnant lieu aux calculs les plus simples.

Par exemple, pour tout complexe q de module strictement inférieur à 1, la convergence vers 0 de la suite des puissances de q se déduit immédiatement de la relation qⁿ = qⁿ, couplée avec le résultat concernant les puissances d’un réel de [0, 1[.

Notons que la notion de limite infinie n’apparaît pas dans cette généralisation. Les éléments a et b sont supposés finis.

B) Généralisation des résultats classiques.

La définition posée, il importe de voir quels sont les théorèmes relatifs aux limites des aplications à valeurs réelles fonctionnant encore pour celles à valeurs complexes.

En gros la réponse est : tous les résultats ne faisant pas intervenir l’ordre dans R s’étendent sans problèmes à notre cadre élargi. C’est le cas de :

_ L’unicité de la limite, les théorèmes de restriction et de prolongement, les propriétés de localité.

_ Les règles sur les opérations usuelles : limites de sommes, produits, différences, quotients.

(Les preuves s’obtiennent facilement en utilisant la première définition)

On y ajoutera de nouvelles propriétés, spécifiques aux complexes, et dont les vérifications sont tout aussi évidentes avec (D1).

Ainsi, concernant la conjugaison : lim_x→x f(x)=l ⇔lim_x→x f(x)=l

0 0

Mais aussi, si θ et ρ sont à valeurs réelles : ⁰

0 0

0

0 ) ( 0

0 lim ( )

) ( lim

) (

lim _{θ θ}

→

→

→ ⇒ ρ =ρ

⎪⎭

⎪⎬

⎫ ρ

= ρ

θ

=

θ i x i

x x x

x x

x x e e

x x

_ Le théorème de composition s’étend aussi à l’identique, sous réserve que le changement de variable intervenant, ‘ t ax=ϕ(t) ’, soit de type exclusivement réel (variable et image dans R) On a alors pour un tel schéma de composition :

avec J ⊂ R, I ⊂ R )

( )

(t x f x

t

I

J ^f

→

= ϕ

→

⎯→

⎯

⎯→

⎯^ϕ C

l t l f

x f

x t

t t x

x t

t ⇒ ϕ =

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

= ϕ

→

→

→ lim ( )

) ( lim

) ( lim

0 0

0 0

o

(Utiliser la définition (D₂) pour la justification )

_ Enfin insistons sur le fait que les théorèmes d’encadrement et de monotonie n’ont bien sûr plus de sens pour des fonctions à valeurs complexes. Les encadrements éventuels

s’effectueront sur les modules. On a par exemple encore le résultat fondamental suivant : l

x f x

x l x

f( )− ≤ε( ) aveclim_x→x ε( )=0,alors: lim_x→x ( )= ,

I sur

Si 0 0

C) Continuité et dérivabilité.

1) Définitions.

La notion de limite étant maintenant bien précisée pour les fonctions à valeurs complexes, les définitions fondamentales de continuité et de dérivabilité se généralisent naturellement.

On dira qu’une fonction f à valeurs dans C est continue en un réel x0 de son ensemble de définition I si et seulement si f admet pour limite f(x₀) en x₀.

On dira qu’une fonction f à valeurs complexes est dérivable en un réel x₀ de son ensemble d’étude I si et seulement si la fonction x a

0 0) ( ) (

x x

x f x f

−

− admet une limite en x0 , appelée nombre dérivé de f en x0 et noté f ’(x0).

Traduisons ce qui précède en faisant intervenir la définition (D1).

Si (u, v) est le couple de fonctions composantes de f, on aura : f(x)=u(x)+iv(x) et T(x)=

0 0 0

0 0

0 ( ) ( )

) . ( ) ( ) ( ) (

x x

x v x i v x

x x u x u x

x x f x f

− + −

−

= −

−

−

Ainsi lim ( ) ( ₀) lim ( ) ( ₀) et lim ( ) ( ₀)

0 0

0 f x f x _{x x} u x u x _{x x} v x v x

x

x_→ = ⇔ _→ = _→ =

x b x

x v x a v

x x

x u x ib u

a x

T _{x x x x}

x

x =

−

= −

−

⇔ − +

= _{→ →}

→

0 0 0

0 ( ) ( )

lim et )

( ) lim (

) (

lim 0 0 0

Ceci peut alors se traduire par les équivalences :

f continue en x₀ ⇔ les composantes u et v de f sont continues en x0 .

f dérivable en x0 ⇔ u et v sont dérivables en x0 . On aura dans ce cas f ’(x0)=u’(x0)+iv’(x0) . Nous dirons comme d’habitude que f est continue (respectivement dérivable) sur I si et seulement si f est continue (respectivement dérivable) en tout point de I.

Les fonctions dérivées successives, les classes de dérivation, se définiront et se noteront alors comme dans le cas réel. ( f ⁽⁰⁾=f et ∀ n ∈N f ⁽ⁿ⁺¹⁾=(f ⁽ⁿ⁾)’.)

2) Extension des résultats classiques.

On vérifiera sans aucune difficulté en reprenant les démonstrations données dans le cas réel, ou si besoin en revenant aux fonctions composantes, la validité des propriétés, théorèmes et formules ci dessous.

_ Toute fonction dérivable en un point est nécessairement continue en ce point.

_ La somme, le produit, le quotient de deux fonctions continues en un point sont aussi continues en ce point.

_ La somme, le produit, le quotient de deux fonctions dérivables en un point sont aussi dérivables en ce point suivant les formules établies dans le cas réel.

_ La formule de Leibniz donnant la dérivée d’ordre n d’un produit s’applique sous les mêmes hypothèses de dérivabilité dans le cas de fonctions à valeurs complexes.

_ Le théorème de dérivation d’une composée f ϕ s’étend à l’identique, sous réserve ici aussi que la fonction ϕ soit de variable et d’image réelles.

Ainsi la règle de dérivation d’une puissance de fonction : (u o

n)’=nu^n-1.u’ n’est pas une conséquence de ce théorème mais se prouve par récurrence sur l’entier n.

A titre d’exemples d’emploi de ces résultats : 1) Si f est la fonction définie sur R par x ax−α

1 , avec α∈C-R, la dérivée d’ordre n quelconque de f est définie sur R par : x a 1

) (

) (

! ) 1 ) (

( ₊

α

−

= − ⁿ _n

n

x x n

f . (Récurrence sur n)

2) Plus généralement si f est définie sur R par x a(x-α)^r avec α ∈C-R et r ∈Z*, la dérivée d’ordre n ≥1 de f est définie sur R par :

Les théorèmes propres à la relation d’ordre sur R n’ont bien sûr plus cours sous leur forme d’origine dans le cadre d’images complexes. Ainsi le théorème des valeurs intermédiaires, de Rolle, des accroissements finis, ne fonctionnent plus.

n r

n x r r r n x

f^{( )}( )= ( −1)....( −( −1))( −α) ⁻

D) Intégration.

Définition.

On dira que la fonction f à valeurs complexes est intégrable Riemann sur l’intervalle [a, b] si et seulement si ses deux fonctions composantes u et v sont intégrables sur cet intervalle.

On posera alors

∫

∫

∫

∫

b a b

a b

a f(x)dx [u(x) iv(x)]dx u(x)dx i v(x)dx

Ici aussi la généralisation conserve l’essentiel des propriétés établies pour l’intégration des fonctions à valeur réelle. On vérifiera sans difficultés :

_ La C linéarité de l’application f a définie sur le C espace des fonctions intégrables Riemann sur [a, b].

_ La relation de Chasles , avec la convention usuelle lorsque a <b _ L’existence de primitives de toute fonction continue f sur un intervalle I, définies par les formules x aF(x)= avec a élément fixé arbitrairement dans I.

_ La formule d’intégration par parties.

∫

∫

∫

b f(x)dx f(x)dx

C dt t

xf

a +

∫

_ La formule du changement de variable, sous réserve que celui ci soit purement réel c’est à dire relie deux intervalles de R.

Ici encore les théorèmes spécifiques à l’ordre sur R ne fonctionnent plus dans le cadre complexe. On ne pourra comparer que les modules des intégrales.

Pour cela nous utiliserons essentiellement le théorème de majoration suivant :

Pour toute fonction f à valeurs dans C continue sur l’intervalle [a, b], le module de l’intégrale de f sur [a, b] est inférieur ou égal à l’intégrale du module de f sur cet intervalle.

Démonstration.

Notons ρ le module de l’intégrale de f sur [a, b]. On a alors, sous forme trigonométrique,

l’égalité : .

Désignons alors par g la fonction définie sur [a, b] par x ag(x)=

Par C linéarité, on en déduit : .

Introduisons alors le couple (u, v) des fonctions composantes de g. L’égalité ci dessus se

traduit par : .

Or ρ est un réel, on en déduit que l’intégrale de v sur [a, b] est nulle.

La relation se résume donc à : ρ=

De g(x)=u(x)+iv(x) on tire immédiatement ρ θ

∫

) ( .f x e^−iθ ρ

∫

∫

∫

=

ρ ^b

a b

au(x)dx i. v(x)dx

∫

) ( )) ( ( )) ( ( )

(x u x ² v x ² g x

u ≤ + =

Ainsi, l’intégrale de la valeur absolue de u sur [a, b] sera inférieure à celle du module de g sur ce même intervalle. Mais u étant à valeurs réelles, on peut écrire :

∫

∫

b

au(x)dx u(x)dx En combinant les deux inégalités précédentes, on obtient enfin la relation cherchée :

∫

∫

∫

a b

a f(x)dx g(x)dx f(x)dx

Corollaire.

On peut déduire du théorème précédent la formule dite de l’inégalité des accroissements finis Si f est une fonction à valeurs complexes, de classe C¹ sur [a, b] et telle que le module de sa dérivée soit majoré par le réel q sur tout cet intervalle, on peut en déduire la majoration suivante : f(b)− f(a) ≤q(b−a)

Il suffit d’écrire f(b)- f(a)= et de majorer le module de cette intégrale comme indiqué dans le théorème :

∫

∫

∫

≤

− ^b

a b

a f x dx qdx q b a

a f b

f( ) ( ) ( ) ( )

E) Exponentielle complexe.

Définition : Pour tout complexe défini sous forme algébrique par z=a+ib , on appelle exponentielle de z le complexe e^z =e^a+ib =e^a(cos(b)+isin(b))

Notons que la notation est compatible avec les représentations antérieures.

_ Si z=a+i.0 est un réel, on retrouve l’exponentielle réelle e^a

_ Si z=0+ib est un imaginaire pur, on retrouve la notation classique

Cette notation généralisée s’avère particulièrement utile dans les problèmes de dérivées successives ou d’intégration de produits d’exponentielles réelles par des combinaisons de sinus et cosinus, comme on le verra dans les exercices.

En attendant, et pour clore ce chapitre, examinons les principales règles de calcul.

1) L’application z ae

) sin(

)

cos(b i b

e^ib = +

z est un morphisme du groupe additif (C, +) sur le groupe (C*, ×) Considérons deux complexes quelconques sous forme algébrique : z=a+ib et z’=a’+ib’

Par définition même on aura : , et

Examinons On obtient bien, vu les propriétés de l’exponentielle réelle et les formules d’addition, la relation fondamentale :

)) sin(

)

(cos(b i b e

e^z = ^a + e^z' =e^a′(cos(b')+isin(b')) ))

' sin(

) ' (cos(

'

' e b b i b b

e^z+z = ^a+a + + +

))]

' cos(

) sin(

) cos(

) ' (sin(

)) ' sin(

) sin(

) ' cos(

) .[(cos(

.

.e ^' e e ^' b b b b i b b b b

e^{z z} = ^{a a} − + +

'

' ^z. ^z

z

z e e

e ⁺ =

On en déduit immédiatement que ∀z ∈C et ∀n ∈Z ^z _z e e1

− =

et (e^z)ⁿ =e^nz 2) Le noyau de ce morphisme est l’ensemble des multiples relatifs de 2iπ.

En effet, si z=a+ib,

On en déduit en particulier e

Z) . 2 et 0 1 (

et 1 ) cos(

0 ) sin(

0 ) sin(

1 )

1 cos( ⇔ = ∈ π

⎩⎨

⎧

=

=

⇔ =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

⇔ =

= a b i

e b

b b

e b

e e _a

a a z

z=e^z’ ⇔ ∃n ∈ Z tel que z’-z=2niπ 3) Dérivation de la fonction f :x a e^xz , pour z complexe donné.

Si z=a+ib , avec (a, b) ∈ R×R, on aura pour tout réel x, Les deux fonctions composantes étant dérivables sur R entier comme produits de fonctions usuelles dérivables, la fonction f étudiée sera également dérivable sur R suivant la formule :

)) sin(

)

(cos(bx i bx e

e^xz = ^ax +

f ’(x)=u’(x)+iv’(x) avec :

On en déduit

D’où la formule particulièrement simple : Pour z complexe fixé, sur R entier :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+

′ =

−

′ =

) cos(

. ) sin(

. )

(

) sin(

. ) cos(

. )

(

bx b e bx ae

x v

bx b e bx ae

x u

ax ax

ax ax

x ib a

ax a ib bx i a ib bx a ib e

e x

f′( )= .[( + )cos( )+ ( + )sin( )]=( + ) ^{( + )}

zx

zx ze

e )′=

(

On en déduit par récurrence l’expression de la dérivée d’ordre n quelconque.

Toujours sur R entier, et pour z complexe fixé : f⁽ⁿ⁾(x)=(e^zx)⁽ⁿ⁾ = zⁿ.e^zx

Plus généralement, si ϕ est une fonction à valeurs complexes, dérivable sur l’intervalle I de R, la fonction f définie sur I par t a f(t)= sera dérivable selon la formule :

) ( ) ( ) ( ) ( )

(^t e^{at ibt} e^{a t}.e^ibt

e^ϕ = ⁺ =

)

). (

( )

(t t e ^t f′ =ϕ′ ^ϕ

En effet, d’après les formules usuelles de produit et de composition, on aura :

)) ( ) ( .(

. )))

( cos(

).

( )) ( sin(

).

( .(

. ).

( )

(t a t e ⁽⁾e ⁽⁾ e ⁽⁾ b t b t ib t b t e ⁽⁾e ⁽⁾ a t ib t

f′ = ′ ^{at ibt} + ^at − ′ + ′ = ^{at ibt} ′ + ′

Exercices sur les fonctions à valeurs complexes.

1. Etudier la suite définie par le terme initial x₀=6 et le procédé d’itération

10 21

²

1

= +

+ n

n

x x

(Sens de variation, convergence). Généraliser l’étude pour une source x0 quelconque.

2. On considère la suite définie par x0=1 et ∀n ∈N : (n+1)xn+1- nxn= _n 3

1 . a) Etudier son sens de variation.

b) Justifier la convergence.

c) Trouver une expression directe de xn en fonction de n et en déduire un équivalent simple du terme général au voisinage de +∞.

3. On construit deux suites de réels à partir des sources u₀ , v₀ telles que 0 < u₀ ≤ v₀ et grâce aux procédés d’itération :

; ₁ 2

1

n n n n

n n

v v u

v u

u +

=

= ₊

+ .

Montrer qu’elles satisfont au schéma des suites adjacentes. (On n’essaiera pas de déterminer la limite).

4. On se propose d’étudier la suite définie par u0=1 et ∀n ∈N :

n n

n u u

u 1

1 = +

+

a) Montrer que

b) Montrer que ∀n ∈N : 2 ≤ (u +∞

+∞ =

→ n

n u

lim

n+1)²-(u_n)² ≤ 2+un+1 -u_n c) En déduire que ∀n ∈N* : 2n ≤ (u_n)²-1 ≤ 2n+u_n -1 d) Conclure alors que lim _→+∞ =0

n u_n

n et que u_n est équivalent à 2 au voisinage de +∞ n 5. Etude de la suite définie par x0=4 et le procédé d’itération

2 9 4

1 −

= −

+ n

n

n x

x x

6. On considère la suite définie par les sources x₀=a, x₁=b telles que a <b et le procédé de

construction : ∀n ∈N* : ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

= ⁻

+ n

x x x

x_{n 1 n} ^{n n 1}

a) Montrer que les deux suites de termes respectifs un=x2n et vn=x2n+1 sont adjacentes.

En déduire la convergence de la suite de terme général xn.

b) Donner une expression directe en fonction de n de la différence dn=xn+1-xn. En déduire une formule explicitant xn en fonction de n.

c) Déterminer la valeur exacte de l=lim_n→+∞x_n.( Utiliser le développement de e^x en 0)

7. Soit la suite de réels définie par un terme source donné x1 >0 et ∀n ∈N*

n n x x_n+1 = + ⁿ Montrer que le terme général x_n est équivalent à n en +∞.

8. On considère la suite définie en tout n entier non nul par :

! )!

(

1

n k u

n k

k n

∑

= =

a) Etudier son sens de variation.

b) Montrer qu’il existe un entier K tel que : ∀n ∈N*

n u_n ≤1+ K c) Déterminer l =lim_n→+∞u_n et lim_n→+∞n(u_n −l)

9. On désigne par f l’application de C vers C définie par : z z i i

z f

z 5 7

3 ) 2

( = − + −

a

a) Montrer que f possède un point fixe et un seul, que l’on notera l.

b) On considère la suite de source z₀ quelconque dans C et telle que ∀n ∈N z_n+1= f(z_n) Montrer que pour tout entier n : z_n+ −l ≤ z_n−l

6 5

1 . En déduire la convergence vers l c) Montrer qu’il existe deux valeurs du paramètre complexe t pour les quelles la suite de terme général Z_n = z_n−l+t(z_n−l) est géométrique. En déduire une expression directe de zn en fonction de l’entier n et retrouver la convergence établie précédemment.

10. Montrer que pour tout complexe z : ^z

n

n e

n z⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

+∞

→ 1

lim . On conseille de définir z par la forme algébrique z=a+ib, puis d’écrire 1+

n

z sous forme trigonométrique.

11. Montrer que la relation de récurrence

1 1

1 +

= −

+ n n

n z

z z permet de construire à partir d’une

source z0 ∈C-{-1,0,1,-i, i} une suite infinie telle que : ∀n ∈N _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

− − + =

−

+ +

i z

i i z i z

i z

n n n

n .

1 1

La suite ainsi obtenue est elle convergente ? 12. Etudier les suites définies par les formules :

donné.

réel avec et

) 1 z que tel donné complexe (

1

) (

2 z Y e x

z

X z _{n n} ^{ni n x}

n n

= −

+ ≠

=

13. On considère la suite de terme source z₀ =ρe^iθ (avec ρ >0 et θ∈[0, 2

π[ ) et définie de

proche en proche par la formule itérative : ( ) 2

1

1 n n

n z z

z ₊ = +

a) Indiquer une construction géométrique simple de ces termes dans le plan complexe.

b) Montrer que la suite converge et exprimer sa limite en fonction de ρ et θ.

( Il est conseillé d’utiliser la représentation géométrique)

14. La suite de terme source z0 ≠0 et définie de proche en proche par

n

n z

z ₊₁ = a avec a complexe non nul fixé est elle convergente ?

15. a) Déterminer les suites géométriques satisfaisant à la relation de récurrence suivante :

(R) ∀n∈N: z_n+2 =2(cos(θ))z_n+1−z_n ( θ désignant un réel fixé de ]0, π[ ) b) On considère une suite satisfaisant à la relation précédente, non nécessairement géométrique, de termes sources z₀=1 et z₁=cos(θ).

Montrer que celle ci peut s’écrire comme combinaison linéaire de deux suites du type déterminé dans la question précédente. Est elle convergente ?

16. a) On considère deux suites à valeurs réelles, de termes respectifs un et v_n appartenant à l’intervalle [0, 1] quel que soit n. On suppose de plus que leur produit converge vers 1.

En déduire que chacune d’entre elles à pour limite 1.

b) On suppose encore que le produit tend vers 1 mais les deux suites sont maintenant à valeurs complexes et telles que : ∀n ∈N

2 1 2 et 1 2 1 2

1 ≤ − ≤

− _n

n v

u .

La conclusion précédente est elle encore vraie ?

17. Soit θ un réel donné. Etudier la limite de la suite n a ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

θ n 1

i

e n

18. Déterminer les dérivées d’ordre n quelconque des fonctions de variable réelle définies par les formules :

4

² ) 3 ) sin(

( et

) ( cos . )

( ³

= +

= x

x x g x x e

x f

xa ^x a

19. On considère la fonction f de R vers C définie par la formule Montrer que f est dérivable et déterminer sa fonction dérivée.

eix

e x f( ) =

20. On désigne par F l’application de C-iR qui à tout z=x+iy non imaginaire pur (y ≠0) fait correspondre le complexe ( ) ln Arctan( )

x i y

z z

F = + .

a) Simplifier en précisant les conditions de définition de ces expressions.

b) Soit ϕ une fonction de classe C ) ( et

)

(z z

F F e

e

1 d’un intervalle I de R vers C-iR.

Etudier la dérivée de la fonction composée F_oϕ.

Solutions des exercices sur les fonctions complexes.

1. Considérons la fonction f de R vers R définie par la formule x a f(x)=

10 21

²+ x

Elle est paire, strictement croissante sur [0, +∞[, et admet pour seul points invariants les réels 3, 7, solutions de l’équation x²-10x+21=0.

L’intervalle I=[3, 7] est donc stable pour f. (3 ≤ x ≤ 7 ⇒ 3= f(3) ≤ f(x) ≤ f(7)=7 )

La source x0=6 étant élément de I, on en déduit que tous les itérés successifs xn par f sont aussi éléments de cet intervalle.

La factorisation

10 ) 7 )(

3 (

1

−

= −

+ − n n

n n

x x x

x nous montre alors que la différence xn+1-xn de deux termes successifs est toujours négative.

La suite donnée est donc décroissante, minorée par 3, donc convergente.

On sait que dans ce schéma la convergence ne peut avoir lieu que vers un des points fixes de f sur cet intervalle. Or 7 est à rejeter, car vu la décroissance, tous les termes de la suite seront inférieurs ou égaux à x0=6. Ainsi la limite est 3.

Remarquons que l’on pouvait obtenir une conclusion plus directe en examinant la différence )

3 10 (

3 10

9 3 ²

1 ⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

− =

=

+ − n

n n

n x x x

x . Puisque 3 ≤ xn ≤ 6 pour tout entier n, on en tire en effet : 0 ≤ xn+1-3 ≤ ( 3)

10

9 x_n − , puis par itérations : ∀n ∈N 0 ≤ xn-3 ≤ )ⁿ 10 .(9 3 On termine avec le théorème d’encadrement.

Si la source n’est plus 6 mais un élément quelconque de ]3, 7[, il suffit de reprendre en détail les arguments précédents pour s’apercevoir que la suite est encore décroissante de limite 3. De même on vérifiera facilement les résultats ci dessous concernant d’autres positions de source : _ Si x0 ∈[0, 3] , convergence ‘croissante’ vers 3, avec ∀n ∈N : 0 ≤ 3-xn ≤ (3 )

5 3

x0 n

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

_ Si x₀ ∈]7, +∞[ , divergence ‘croissante’ vers +∞ avec ∀n ∈N : x_n-7 ≥ ( 7) 5

7

0−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ x

n

_ Si x₀ ∈ [-3, 0[ , convergence croissante vers 3, car x1 ∈]0, 3]

_ Si x0 ∈ ]-7, -3[ , convergence vers 3 , décroissance à partir de x1 élément de]3, 7[

_ Si x0 ∈ ]-∞, -7[, divergence vers + ∞, en croissant à partir de x1 élément de ]7, +∞[

_ Si x0 ∈{3, 7} suite constante.

Le point fixe 7 étant répulsif ( 1 5 ) 7 7

( = >

f′ , la convergence n’a effectivement lieu vers ce réel que dans le cas d’une suite stagnant en ce point à partir d’un certain rang. (ce qui se résume ici à x0 ∈{-7, 7}).

2. a) La relation de récurrence donnée peut aussi se traduire par : ∀n ∈N

1 3

1

1 +

= +

+ n

nx x

n n n

On en déduit les valeurs des premiers termes :

405

; 121 27

; 10 27

; 13 3

; 2

1 _{2 3 4 5}

1 = x = x = x = x =

x

La suite semble décroissante. Etudions donc de manière générale x_n+1-x_n= 1 3

1 +

− n

x_n

n

Il s’agît donc de vérifier pour tout n entier la minoration x_{n n} 3

≥ 1 , ce qui se fait facilement par récurrence. On a en effet par hypothèse x₀=1, et de x_n ≥ _n

3

1 on déduit immédiatement de la

formule donnant x_n+1, l’inégalité : _{1 1} 3

1 3

1 1 3 1

3 +

+ = ≥

+ +

≥ ^{n n} _{n n}

n n

n x

b) La suite donnée est décroissante et formée de termes tous positifs , donc converge vers un réel l positif ou nul.

Remarquons que le passage à la limite dans l’égalité de définition

) 1 ( 3

1

1 1 + +

= +

+ x n

n

x_n n _{n n}

donne l=1×l+0 et ne fournit donc aucune indication sur la valeur de l.

c) Par sommation de termes successifs du type (k+1)xk+1-kxk on obtient la relation :

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

=

=

− +

=

∑ ∑

=

−

=

= + n

n k

k k n

k

k

k k

n k x kx

nx 3

1 1 2 3 3 ] 1

) 1 [(

1

0 1

0

1 , d’où l’on tire l’expression condensée :

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

= _n

n n

x 3

1 1 2

3 . On en déduit que xn tend vers 0 et équivaut en +∞ à n 2

3 .

3. Montrons que si 0< un ≤ vn , on aura nécessairement un ≤ un+1 ≤ vn+1 ≤ vn

_ Puisque 0 < un , on peut écrire : u_n ≤u_n+1 ⇔u_n ≤ u_nv_n ⇔u_n² ≤u_nv_n ⇔u_n ≤v_n

_ De même, 4 ² ² 2 ( )² 0

1 2

1 ≤ ₊ ⇔ ≤ + ⇔ ≤ + + ⇔ − ≥

+ n n n n n n n n

n n n n n

n u v u v u v u v v u

v u v

u

_ Enfin, _{n n} uⁿ vⁿ v_n u_n v_n v

v + ≤ ⇔ ≤

⇔

+ ≤

1 2

De proche en proche, à partir de l’hypothèse initiale 0 < u0 ≤ vo , on en déduit que les segments In=[un, vn] sont emboîtés. Pour achever la vérification du schéma des suites adjacentes il suffit de prouver que la longueur de ces intervalles a pour limite 0.

Pour cela il suffit de remarquer que pour tout n : 0 ≤

1 2

1 1

n n n n n n

u u v

v u

v −

=

−

≤

− _{+ +}

+

On en déduit par itérations l’encadrement : 0 ≤ vn-un _n

u v

2

0 0−

≤ , suffisant pour conclure.

4. a) De proche en proche on montre facilement que tous les termes sont strictement positifs.

On en déduit que la suite est strictement croissante, puisque ∀n ∈N : u_n+1-u_n= 1 >0 un

Supposons la convergente vers un réel l. Celui ci sera supérieur ou égal à u₀=1 d’après la croissance. En passant à la limite dans l’égalité de définition on en déduit l’égalité contradictoire

l l

l 1

0= − = .

La suite donnée croissante et non convergente diverge donc nécessairement vers + ∞.

b) D’après la formule donnant un+1, on a évidemment

² 2 1

²

1²

n n

n u u

u ₊ − = +

La minoration par 2 en découle immédiatement.

Pour la majoration par 2+u_n+1-u_n= un

2+ 1 , il suffit de remarquer que tous les u_n sont supérieurs à 1 (terme source de cette suite croissante) , ce qui entraîne

n

n u

u 1

² 1 ≤

c) Par sommation des encadrements 2≤(u_k+1)²−(u_k)²≤2+u_k+1−u_k, pour k variant entre 0 et n-1, il vient naturellement : ∀n ∈N-{0} 2n ≤ (u_n)²-1 ≤ 2n+u_n-1

d) De (u_n)² ≤ 2n+un on déduit u_n(u_n-1) ≤ 2n , puis

1 2

≤ −

n

n u

u n pour n ≥ 1 puisque par croissance de la suite, tous les termes de rang non nul sont supérieurs à u₁=2.

On aura donc pour tout n ≥1 :

1 0 2

≤ −

<

n n

u n

u . On en déduit d’après le théorème d’encadrement la convergence vers 0 de

n u_n

, puisque lim_n→+∞u_n =+∞. En divisant par n ≥1 l’encadrement obtenu en c) il vient alors :

n u n

u n

n

n ≤ +

≤

+1 ² 2

2 ,

d’où l’on déduit par passage à la limite : ² 2 lim _→+∞ =

n u_n

n .

5. Etudions la fonction f définie sur ]2, +∞[ par x a f(x)=

2 4 1

2 9 4

− −

− =

−

x x

x

Elle est continue, strictement croissante et n’admet que 3 comme point invariant.

L’intervalle I=[3, 4] est alors manifestement stable pour f.

On en déduit que la suite des itérés successifs par f de la source x₀=4 est à valeurs dans I.

Puisque x1 <4=x0 et que f est croissante sur I, la suite étudiée sera décroissante.

Etant décroissante et minorée elle est convergente et sa limite ne peut être que 3 seul point fixe de f continue sur I.