Un nombre est appelé prodigieux s'il est divisible par le produit de ses chiffres non nuls écrits en base 10.
Par exemple l'entier 2016 est prodigieux car il est divisible par le produit des ses chiffres non nuls égal à 12.
Q₁ Trouver le plus petit entier prodigieux supérieur à 2016 qui ne contient aucun chiffre 0. (*) Q₂ Trouver quatre entiers consécutifs prodigieux.(**)
Q₃ Déterminer la longueur maximale d'une suite d'entiers consécutifs prodigieux. (****). Donner un exemple d'une telle suite.
Q1 : Le plus petit nombre supérieur à 2016 ne contenant aucun chiffre nul est 2111, qui ne répond pas à la question, mais le suivant convient puisque 2*2=4 divise 2112.
Q2 : 1110, 1111, 1112, 1113
Q3 : Pour k=1, 2, ou 5, le nombre 10n+k est divisible par k ; pour les autres valeurs non nulles de k, 10n+k est divisible par k si et seulement si 2n l’est ; mais dans ce cas, si 10n+k est divisible par k, 10(n+1)+k ne l’est pas. Une suite d’entiers
prodigieux consécutifs ne peut donc contenir deux termes finissant par 3, 4, 6, 7, 8 ou 9. La plus longue suite possible ne peut avoir plus de 13 termes.
Soit R=11...1 le répunit comportant 18 chiffres, qui est divisible par 7 et 9.
Les nombres 1000R, 1000R+1, 1000R+2, ... , 100R+10, 100R+11, 100R+12 répondent alors à la question.
