A365. Les nombres prodigieux
Un nombre est appel´e prodigieux s’il est divisible par le produit de ses chiffres non nuls ´ecrits en base 10.
Par exemple l’entier 2016 est prodigieux car il est divisible par le produit des ses chiffres non nuls
´ egal `a 12.
Q1 Trouver le plus petit entier prodigieux sup´erieur `a 2016 qui ne contient aucun chiffre 0. (*) Q2 Trouver quatre entiers cons´ecutifs prodigieux>10.(**)
Q3 D´eterminer la longueur maximale d’une suite d’entiers cons´ecutifs prodigieux. (****). Donner un exemple d’une telle suite.
Q1: Le plus petit entier sup´erieur `a 2016 qui ne contient aucun chiffre 0 est 2111. Il ne convient pas, par contre 2112 est divisible par 4.
Q2: Examinons une s´erie de nombres commen¸cant par un multiple de 10.
PosonsNi =P ×10 +i, et soitΠle produit des chiffres non nuls de P. i= 0: N0est prodigieux si P l’est.
i= 1: pour queN0etN1soient prodigieux,Πdoit ˆetre ´egal `a 1. Il faut donc que tous les chiffres autres que les unit´es soient 0 ou 1.
i= 2: pas de contrainte suppl´ementaire.
i= 3: P doit ˆetre divisible par 3.
i= 4: le chiffre des dizaines doit ˆetre 0.
i= 5: pas de contrainte suppl´ementaire.
i= 6: P doit ˆetre divisible par 3.
i= 7: P doit ˆetre divisible par 7. Le plus petit multiple de 7 compos´e de 0 et de 1 est10.101, qui est aussi divisible par 3.
i= 8: les chiffres des dizaines et des centaines doivent ˆetre 0.
i= 9: P doit ˆetre divisible par 9.
La s´erie 1.110, 1.111, 1.112 et 1.113 est la premi`ere s´erie de 4 nombres prodigieux cons´ecutifs.
Q3: En tenant compte des contraintes list´ees dans Q2, la s´erie de 101.011.010.110.101.000`a101.011.010.110.101.009
est la plus facile `a construire des s´eries de 10 nombres prodigieux cons´ecutifs.
Et on constate qu’elle s’´etend aux 3 nombres suivants.
Mais elle est pr´ec´ed´ee par d’autres s´eries dont celle-ci, qui a aussi 13 nombres:
10.101.111.111.000`a10.101.111.111.012.
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