A365. Les nombres prodigieux
Un nombre est appelé prodigieux s'il est divisible par le produit de ses chiffres non nuls écrits en base 10.
Par exemple l'entier 2016 est prodigieux car il est divisible par le produit de ses chiffres non nuls égal à 12.
Q1 Trouver le plus petit entier prodigieux supérieur à 2016 qui ne contient aucun chiffre 0. (*)
Q2 Trouver quatre entiers consécutifs prodigieux > 10.(**)
Q3 Déterminer la longueur maximale d'une suite d'entiers consécutifs prodigieux. (****). Donner un exemple d'une telle suite.
Solution proposée par Jean Nicot
Q1- Le plus petit entier sans chiffre 0 et supérieur à 2016 est 2111 non divisible par 2, puis 2112 divisible par 4 et répondant à la question.
Q2- Les plus petites valeurs ne conviennent pas. Comme on peut ajouter des 1 en poids forts , on obtient aisément 1110 , 1111, 1112, 1113.
Q3- Notons {p} une suite de p chiffres 1 en poids forts et utilisons, en poids faibles sur 2 chiffres, le rang-1 des nombres de la suite à construire.
{p}00, {p}01, {p}02 sont prodigieux quel que soit p. {p}03 aussi si p est multiple de 3.
{p}04, {p}05 quel que soit p. {p}06 avec p multiple de 3. {p}07 avec p multiple de 6.
{p}08 quel que soit p, {p}09 avec p multiple de 9
{p}10, {p}11, {p}12 quel que soit p. {p}13 avec p+1 multiple de 3. {p}14 ne convient pas, car 14 n’est pas divisible par4.
On a ainsi une suite de 13 nombres {p}00 à {p}12 avec p multiple de 3, 6 et 9 soit p =18 chiffres 1.
