A351. Un dur à cuire et son acolyte
Je suis un entier naturel N. En choisissant un certain entier p positif plus petit que moi, on forme un couple (N,p) puis on me divise par p. Le couple d’entiers obtenus (q,r) avec le quotient q et le reste r remplace le couple (N,p). On poursuit le processus en divisant q par r jusqu’à ce que le plus petit terme d’un couple devienne nul.
Je suis un dur à cuire car avec mon acolyte p, il faut 13 divisions successives pour obtenir 0. De surcroît, je suis le plus petit des durs à cuire qui nécessitent ces 13 opérations. Qui suis-je et que vaut mon acolyte p ?
Solution proposée par Ali Soua
Afin de déterminer le couple (N,p) demandé, on part du plus petit couple d’entiers (q,r) et on remonte au plus petit dur à cuir N et son acolyte p en 13 étapes :
- Le plus petit couple (q1, r1)=(1,0)
- à chaque étape i, on construit (Ni, pi) tel que : Ni=pi*qi+ri, pour que cette division Euclidienne de Ni par pi soit valable, il faut satisfaire la condition pi>ri. Comme Ni doit être mini, on choisit la valeur mini de pi=ri + 1
- à l’étape i+1, (qi+1,ri+1)= (Ni, pi).
Etape1 : (q,r)=(1,0) 1*1+0=1 => (N,p)=(1,1) Etape2 : (q,r)=(1,1) 2*1+1=3 => (N,p)=(3,2) Etape3 : (q,r)=(3,2) 3*3+2=11 => (N,p)=(11,3) Etape4 : (q,r)=(11,3) 4*11+3=47 => (N,p)=(47,4) Etape5 : (q,r)=(47,4)
5*47+4=239 => (N,p)=(239,5) Etape6 : (q,r)=(239,5)
6*239+5=1439 => (N,p)=(1439,6)
Etape7 : (q,r)=(1439,6)
7*1439+6=10079 => (N,p)=(10079,7) Etape8 : (q,r)=(10079,7)
8*10079+7=80639 => (N,p)=(80639,8) Etape9 : (q,r)=(80639,8)
9*80639+8=725759 => (N,p)=(725759,9) Etape10 : (q,r)=(725759,9)
10*725759+9=7257599 => (N,p)=(7257599,10) Etape11 : (q,r)= (7257599,10)
11*7257599+10=79833599 => (N,p)=( 79833599,11) Etape12 : (q,r)=( 79833599,11)
12*79833599+11=958003199 => (N,p)=( 958003199,12) Etape13 : (q,r)=( 958003199,12)
13*958003199+12=12454041599=2*(13 !) - 1 => (N,p)=( 2*(13 !) - 1 , 13)
D’où N =12454041599 =2*(13 !) - 1 est le plus petit dur à cuire avec son acolyte p=13, il faut 13 divisions successives pour obtenir 0.
