A R K I V F O R M A T E M A T I K Band 1 nr 38
C o m m u n i q u 6 le 6 j u i n 1951
Sur le plus petit non-reste quadratique i m p a i r
Par T~YGVE NAaELL
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Soit p un nombre premier > 2 . D4signons par yJ le plus petit nombre impair positif qui est un non-reste quadratique modulo p. C'est 6vident que
est toujours un hombre premier.
Duns une note [1] publi4e en 1923 j'ai propos6 le probl~me de d6terminer une borne sup6rieure de ~p en fonction de p, et par des raisonnements tr~s simples j ' y ai d6montr4 que
(1) ~ < 2~/p + 1
pour tous les hombres premiers p > 3.
Ensuite, par des moyens analytiques, J. M. VINOGRADOV & 5tabli ]e rSsultat plus pr6cis que voici [2]:
S i p est un nombre premier suffisamment grand tel que p ~ • ] (rood 8), on a
(2) ~f < p" (log p)2,
o~ v = - - 1 = 0.303 . . . .
zVe
Enfin, par une m~thode ~14mentaire, A. BRAUE~ a obtenu le r~.sultat sui- v a n t [3] :
P o u r t o u s l e s hombres premiers p ~ _ + 3 (rood 8) on a
2 1
(3) y J < 2 ( 4 p ) ~ + 2 ( 4 p ) ~ + 1.
Pour t o u s l e s nombres premiers p ~ - - 1 (rood 8) on a
2 1
(4) yJ < (2 p)5 + 3 (2 p),~' + 1.
J ' a i montr~ r4cemment c o m m e n t on peut employer un thS0r~me d'AXEL THUE pour trouver une borne sup4rieure de y~. I1 s'agit du th~or~me suivant [4]:
Soit p u n nombre premier impair. Si ]e hombre entier a n ' e s t pus divisible p a r p, on peut trouver deux nombres entiers positifs x et y < Vp et tels q u ' o a air
a y ~ - + x (mod p) pour l'un ou l'autre des deux signes.
T. I'~AGELL, Sur le plus petit non-reste quadratique impair Au moyen de ce th6or~me j'ai 6tabli l'in@alit6
(5) ~ < Vv
pour tous les nombres premiers p ~ _ 1 (rood 8), sauf pour p = 7 et p = 2 3 ; voir [5] et [6].
Ce r6sultat n ' e s t pus aussi precis que les in@alit6s (2) et (4), mais la m6- rhode de d6monstration est ~[6mentaire et tr~s simple.
Duns cette Note nous allons d~velopper une nouvelle m6thode beaucoup plus simple que routes les m~thodes employdes jusqu'ici pour 6tablir le r6sultat (5) et des rdsultats analogues.
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Supposons d'abord que p----1 (rood 8). Alors on aura en divisant p par 2 ~
oh ~ est un entier positif < ~ p - 2. I1 en r6sulte que ~ est un reste quadra- tique modulo p. I1 faut donc que k soit un non-reste quadratique modulo p.
On en conclut que k > ~o et que
p _ - > 2 ~ 2 - - ~ + 2, d'o~t
(6) ~,<=t + ~ V s p - 1 5 .
Cette in@alit6, qui est valable pour tous les nombres premiers p ~ 1 (mod 8), est plus pr@ise que (5). Nous allons la pr6ciser encore en d~montrant que
(7) ~ _-< V89 (v + 1).
Vu que cette in@alit6 est vraie pour p = 17, nous pouvons supposer que yJ > 5.
E n posant
p = 2 ~ 2 - - ~ + 2 + 2 a , o0 a est un entier >= 0, nous aurons
(s) p - - ( 2 a + 3) y J = 2 ( ~ - - l ) ( ~ o - - l - - a ) .
Supposons m a i n t e n a n t que a soit < 2- (~f - - 5). Dans ce cas on aura 2 a + 3 =< ~p - - 2.
I1 en r6sulte que (2a + 3)~0 est un non-reste quadratique modulo lu. Or, cela est impossible puisque le second membre de (8) est un reste quadratique mo- dulo p. I1 faut done que a > 8 9 Alors on a
p~>2~ 2 - - ~ + 2 + y~-- 3=2v2 2 - - I,
d'ofi l'on obtient (7).
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La m~me m~thode s'applique duns le cas d'un (mod 8). En divisant p p a r ~ nous aurons
nombre premier p - - - - 1
574
ARKIV FOR MATEMATIK. Bd 1 n r 38
p = y J k - - r ,
oh r e s t un entier positif < ~ v - - 1. I1 en rdsulte que r e s t vn reste quadratique modulo p. Donc le n o m b r e k est ndeessairement un non-reste quadratique modulo p. P a r consdquent on a k_---yJ et
d ' o h
(9)
p > y j 2 y j + 1,
~<89
+ ~ l / ~ p - - 3 .
Cette indgalitd, qui est valable pour tous les nombres premiers p ~ - - 1 (rood 8), est moins prdcise que (5). Si nous supposons que p > 23, elle peut ~tre amd- liorde de la mani~re suivante. Posons
p=~v ~ - y ~ + 1 + a, oh a=>0. Done
p - - a - - 3 = ( ~ + l ) ( y J - - 2).
Puisque 89 (yJ + 1) et yJ - - 2 sont < % ces hombres sont des testes quadratiques modulo p ; on en conclut que a + 3 est un non-reste quadratique modulo p.
Donc a + 3 >yJ et
p = ~,z y~ + 1 + a > yJ2 - - ~f + 1 + ~f - - 3, c'est-s
Posons
Si b > 0, nous aurons
p > ~ 2 - - 2 . p = ~ f 2 _ 2 + b.
p - - b + l = y ~ ~ - - l=(~p + 1)(yJ-- 1).
Vu que 89 (y~ + 1) et ~v-- 1 sont des restes quadratiques modulo p, i] en rdsulte que b - - 1 est un non-reste q u a d r a t i q u e modulo p. P a r consdquen~ on a b - - 1 _-> ~ et (10) p > ~ v ~ - - 2 + ~v + l = ~ v ~ + ~ - - 1 .
Si b = 0, nous aurons
(11) p 7 = (yJ + 3) (~v - - 3).
Comme p > 7 , on a y J > 3 et 8 9 Donc le n o m b r e 8 9 est un reste quadratique modulo p. Alors le second m e m b r e de (11) est un reste quadratique modulo p. On en conclut que le h o m b r e 7 est un non-reste qua- dratique modulo p, c'est-~-dire ~v < 7. Donc p = ~v 2 - - 2 < 47. Or, pour p = 47 on a W = 5 ; ainsi l'@alitd (11) est vrai seulement pour p = 7 et p = 2 3 .
Donc on conclut de (10): P o u r tous les hombres premiers p ~ - - - 1 (rood 8) on a
(12) y ~ < - - 89 + 8 9 + 5 ,
sauf p o u r p = 7 et p = 2 3 . On volt sans peine que cette in~galit4 p e u t ~tre remplacde par la suivante
(13) V < Vpp - - 6 .
T. I~IAGELL, Sltr le plus petit non-reste quadratique impair w
On peut employer une mdthode analogue mgme dans le cas d'un nombre premier p ~ 5 (rood 8). Mais le raisonnement sera plus compliqu6.
E n divisant p par ~0 nous aurons
(14) p=yJh + r,
off h e t r sont des entiers positifs, 0 < r < ~. I1 faut distinguer quatre cas.
1) r e s t impair, et h est pair. L ' u n des nombres - - y ~ + r , - - 3 ~ + r , y J + r et 3 ~ + r e s t ~ 4 (mod 8). Si nous d&ignons ce nombre par rt, nous avons
(15) p=~phl + rl,
o~t hi est un entier impair, qui a une des valeurs h + 1, h - - 1, h + 3, h - - 3.
Les valeurs corr&pondantes de rl sont - - ~o + r, ~ + r, - - 3 ~ + r, 3~p + r. Vu clue le nombre 88 est impair et < % rt est un reste quadratique modulo p.
I1 en r6sulte que hi est un non-reste quadratique modulo p. Ainsi hi ne p e u t pas &re = - - 1. Done hi est toujours positif e$ >_- ~. P a r cons6quent nous aurons
p = ~ h I + r l ~ p 2 - - 3~0 + 1, d'oh
(16) ~ < ~ + 8 9 5.
2) r ~ 4 (mod 8); h est impair. Dans ce c a s ~ est un reste quadratique r
impair modulo p ; h est un non-reste quadratique impair modulo p. Donc
~ = ~ v h + r > ~ 2 + 4 et
(17) ~ = Vp - 4.
3) r - = 0 (rood 8); h est impair. Dans ce cas l'6quation (14) peut s'6crire p = ~ ( h + 4) - ( 4 ~ - r).
Le nombre IP--~- est un reste quadratique impair modulo p. Donc h + 4 est r
un non-reste quadratique impair modulo p. P a r cons6quent h + 4 > ~p et p > ~ * - - 4 v 2 + 8,
d'o~t
(is) ~<2
+ V ~ - 4.4) r ~ 2 (rood 4); h est impair. L ' u n des nombres - - 2 v 2 + r et 2 ~ 0 + r e s t 4 (rood 8). Si nous d6signons ce nombre par rl, nous avons
p = ~p ht + rl,
oll hi est ou = h + 2 ou = h - - 2 . Les valeurs corr6spondantes de r 1 sont
- - 2 ~ + r
et 2 ~ 0 + r . Vu que le nombre 88 est, impair e t < ~ , rl est un reste quadratique modulo p. I1 en r6sulte que hi est un non-reste quadratique 576ARKIV FOR MATEMATIK. B d 1 n r 3 8
modulo p. Ainsi h I ne peut pas ~tre = - 1. Donc hi est toujours positif et
> 1o. P a r consequent nous aurons
p=10h 1 + r1_>-10~-- 210 + 2, d'oh
(19) W <1 + V p - 1 .
Des infigalit~s (16), (17), (18) et (19) on eonelut que
(20) 10_-<2 +
Vp-4
pour t o u s l e s hombres premiers p ~ 5 (mod 8).
Remarque. On peut d'ailleurs am~liorer le r~sultat obtenu ci-dessus et dd- montrer le th~or~me suivant:
Si p e s t ua nombre premier ~ 5 (rood 8), on a saul pour ~ = 5 , 13 et 109.
10
Par une m~thode analogue on p e u t aussi 4tablir le r~sultat suivant:
S i p est un nombre premier =-3 (rood 8), on a
10<V + 4,
sauf pour p = 131.
*
Dans le tableau suivant p e s t un nombre premier; 10 d6signe le plus petit nombre premier impair tel que ( ~ ) = - - 1 ; ~ d~signe le plus petit nombre premier impair tel que ( p ) = + 1
3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 3 7 41 43 47 53 59 61 67
7 l I 11 3 3 13 5 3 5 5 3 5 11 3 7 3 3 17
5 3
3 7 5 3 3 5 3 3 5 3 3 5 3 11 7 3
71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157
3 3 5 3 5 3 5 7 3 3 7 11 3 7 5 5 5 3
7 5 3 5 3 5 3 3 5 11 3 3 17 3 3 3 3 5
163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257
41 3 13 3 3 3 3 7 5 5 7 3 3 7 3 3 3 11
3 5 3 7 7 7 5 3 3 3 3 5 7 3 7 7 1 1
3
43t 577
T. ]NAGELL, Sur le plus petit non-reste quadratique impair
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Tryckt den 25 oktober 1951
Uppsala 1951. Almqvist & ~Viksells Boktryckeri AB
