Université Grenoble Alpes Année 2019-2020 INSPE - UFR IM2AG M1 Master MEEF SD Parcours “Mathématiques”
DS d’Algèbre et Géométrie du 16 Octobre 2019 Partie ALGEBRE
(à rendre sur une copie séparée)
EXERCICE
Un idéal de Zest un sous-ensemble non videI de Ztel que (i).∀n∈I,−n∈I,
(ii).∀n, m∈I,n+m∈I, (iii).∀n∈I,∀k∈Z,kn∈I.
1) Soit I un sous-ensemble non vide deZ.
Montrer que I est un sous-groupe de Z si et seulement siI est un idéal deZ. 2) Montrer que si n∈Z, alors nZ:={kn|k∈Z}est un idéal de Z.
3) Soit I un idéal deZdifférent de {0}.
3-a) Montrer que I+∗ :={k|k∈I etk >0}est non vide.
3-b) Montrer que I+∗ admet un plus petit élément notén.
3-c) Montrer queI+∗={kn|k∈N∗}.
3-d) Montrer queI =nZ.
PROBLEME
On rappelle que 0! = 1et que pour tous les entiers naturels ket n, les coefficients binomiaux sont définis par : nk
= k!(n−k)!n! sik≤n, et nk
= 0 si k > n.
Partie A – Quelques propriétés des coefficients binomiaux
Dans cette partie,k et n désignent deux entiers naturels tels que0< k < n.
1) Montrer que nk
= n−1k
+ n−1k−1 .
2) Soienta etbdeux éléments d’un anneau commutatif et nun entier naturel.
Énoncer et démontrer la formule du binôme de Newton, donnant le développement du produit(a+b)n. 3) On pose An= n
k
;k≤n .
3-a) Montrer que pourkstrictement inférieur àn, on a : k+1n
− nk
= n!
(k+ 1)!(n−k)!(n−2k−1).
3-b) Après avoir expliqué pourquoiAn admet un plus grand élément, qu’on noteraMn, déduire de la question précédente que celui-ci est atteint lorsque kest égal à la partie entière de n2.
1
2
Partie B – Étude d’une matrice triangulaire Dans cette partie,p désigne un entier naturel non nul.
1) Soit Tp la matrice carrée d’ordre (p+ 1), dont les coefficients aij sont définis par aij = j−1i−1 . 1-a) Justifier queTp est une matrice triangulaire inversible.
1-b) Déterminer la (ou les) valeur(s) propre(s) de la matriceTp, ainsi que leur sous-espace propre associé. La matriceTp est-elle diagonalisable dansR?
La suite de cette partie a pour objet de déterminer les coefficients de la matrice inverse deTp.
2) Justifier que l’ensemble Rp[X]des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à p, a une structure d’espace vectoriel. (On explicitera les lois de compositions interne et externe.)
3) Soit ϕl’application de Rp[X]définie, pour tout polynôme P de Rp[X], par : ϕ:Rp[X]→Rp[X]
P(X) 7→P(X+ 1) 3-a) Montrer queϕest une application linéaire.
3-b) Justifier queϕest une bijection et donner l’application réciproque.
3-c) Démontrer que la matrice de ϕ relativement à la base canonique de Rp[X] est la matrice transposée de Tp
3-d) Déduire des deux questions précédentes queTp−1 est une matrice carrée d’ordre(p+ 1)dont le coefficientaij est égal à (−1)i−j × j−1i−1
.
4) On considère le système suivant, de(p+1)équations à(p+1)inconnues(x0, x1,· · ·, xp)∈Rp+1:
(S)
0 0
x0 = 0!
1 0
x0+ 11
x1 = 1!
2 0
x0+ 21
x1+ 22
x2 = 2!
... . .. ...
i 0
x0+ 1i
x1+ . . . + ii
xi = i!
... . .. ...
p 0
x0+ p1
x1+ . . . + pi
xi+. . .+ pp
xp = p!
A l’aide des résultats précédents, justifier que le système (S) admet un unique vecteur-solution Y = (y0, y1,· · · , yp)∈Rp+1 et que pour tout entier itel que0≤i≤p, on ayi =i!
i
P
m=0
(−1)m m! .
