Soit E un ensemble

Université Grenoble Alpes Année 2021-2022 ESPE - UFR IM²AG M1 Master MEEF-SD Parcours “Mathématiques”

Algèbre

Ensembles et Applications

Exercice 1. Soit E un ensemble ; on note P(E) l’ensemble des parties deE.

1. On suppose que E est de cardinal fini CardE=n. Exprimer CardP(E) en fonction den.

2.Théorème de Cantor.

Montrer qu’il n’existe pas d’application surjective f de E dansP(E).

(On pourra considérer l’ensembleC={x∈E;x /∈f(x)}.)

Exercice 2. SoitE un ensemble et A et B deux sous-ensembles de E. La différence symétrique de A etB, notéeA∆B est le sous-ensemble deE :

A∆B ={x∈A∪B |x6∈A∩B}.

(i) Démontrer queA∆B = (A∩B^c)∪(B∩A^c).

(ii) Calculer A∆A, A∆∅, A∆E, A∆A^c.

(iii) Démontrer que(A∆B)∩C = (A∩C)∆(B∩C).

(iv) Démontrer queA∆B =B si et seulement siA=∅.

Exercice 3. Soit f :R→R définie parf(x) = 2x/(1 +x²).

(i) f est-elle injective ? surjective ? (ii) Montrer que f(R) = [−1,1].

(iii) Montrer que la restrictiong: [−1,1]→[−1,1] def est une bijection.

Exercice 4. Soit f :N² →N^∗ définie parf(n, p) = 2ⁿ(2p+ 1).

Démontrer que f est une bijection et en déduire une bijection deN² sur N.

Exercice 5.

(i) Déterminer une bijection de{1/n, n≥1} sur{1/n, n≥2}.

(ii)En déduire une bijection de [0,1[sur[0,1].

Exercice 6. Soient E etF deux ensembles etf :E→F. SoientA etB deux parties de E.

(i) Démontrer queA⊂B ⇒f(A)⊂f(B). La réciproque est-elle vraie ?

(ii) Démontrer quef(A∩B)⊂f(A)∩f(B). L’inclusion réciproque est-elle vraie ? (iii) Démontrer quef(A∪B)⊂f(A)∪f(B). L’inclusion réciproque est-elle vraie ?

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Exercice 7. Soient E etF deux ensembles etf :E→F. SoientC etD deux parties deF. (i) Démontrer queC ⊂D⇒f⁻¹(C)⊂f⁻¹(D). La réciproque est-elle vraie ?

(ii) Démontrer quef⁻¹(C∩D)⊂f⁻¹(C)∩f⁻¹(D). L’inclusion réciproque est-elle vraie ? (iii) Démontrer quef⁻¹(C∪D)⊂f⁻¹(C)∪f⁻¹(D). L’inclusion réciproque est-elle vraie ?

Exercice 8. Soient E etF deux ensembles non vides, et f :E →F.

(1) Montrer que f est injective si et seulement si, ∀A, B∈ P(E), f(A∩B) =f(A)∩f(B).

(2) Montrer que f est bijective si et seulement si pour toutA∈ P(E) on af(A^c) =f(A)^c.

(3) Montrer que f est injective si et seulement s’il existe une application r : F → E telle que r◦f =Id_E.

Exercice 9. Soient E etF deux ensembles etf :E→F.

(1) Soit A⊆E. Montrer queA⊆f⁻¹(f(A)), mais que l’égalité n’est pas toujours vérifiée. Montrer que l’on a égalité si f est injective.

(2) Montrer que si pour tout A∈ P(E) on a l’égalité A=f⁻¹(f(A)), alors f est injective.

(3) Soit B⊆F. Montrer quef(f⁻¹(B))⊆B, mais que l’égalité n’est pas toujours vérifiée. Montrer qu’on a égalité si f est surjective.

(4) Montrer que si pour tout B ∈ P(F) on a l’égalité f(f⁻¹(B)) =B, alors f est surjective.

(5) Soit Φ : P(E) → P(F) définie par Φ(A) = f(A) et Ψ : P(F) → P(E) définie par Ψ(B) = f⁻¹(B). Montrer que :

(i) f est injective⇔ Φest injective⇔ Ψest surjective.

(ii) f est surjective⇔ Φ est surjective⇔ Ψest injective.

Exercice 10. SoientA∈ P(E),B∈ P(E). On définit

f : P(E) → P(A)× P(B) X 7→ (X∩A, X∩B).

(i) Montrer quef est injective si et seulement siA∪B =E.

(ii) Montrer que f est surjective si et seulement si A∩B =∅.

(iii) Donner une condition nécessaire et suffisante surAetB pour que f soit bijective. Donner alors la bijection réciproque.

Exercice 11. Montrer que l’ensemble D ={(x, y)∈ R² |x²+y² ≤1} ne peut pas s’écrire comme produit cartésien de deux parties deR.

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Exercice 12. On définit surZla relation

xRy si et seulement si x+y pair.

Montrer queR est une relation d’équivalence et déterminer les classes d’équivalence deR.

Exercice 13. SoitE un ensemble non vide etΛ∈ P(E) vérifiant la propriété :

∀X, Y ⊂Λ, ∃Z ⊂Λ |Z ⊂(X∩Y).

Montrer que la relation∼définie sur P(E) par

A∼B⇔ ∃X ⊂Λ |X∩A=X∩B.

est une relation d’équivalence surP(E). Quelles sont les classes d’équivalence de∅ et de E?

Exercice 14. SoitE un ensemble.

Démontrer que les relations suivantes sur P(E)sont des relations d’équivalence :

◦ ARB si A=B ou A=B^c.

◦ Etant donnéD∈ P(E),ARB siA∆B ⊂D.

Exercice 15. DansCon définit la relationR par : zRz⁰ ⇔ |z|=|z⁰|.

(1) Montrer que Rest une relation d’équivalence.

(2) Déterminer la classe d’équivalence de chaque z∈C. (3) Etablir une bijection de C/Rsur[0,+∞[.

Exercice 16. SoientE un ensemble et f une bijection de E dansE.

(1) Montrer que la relation Rdéfinie par

xRy⇔ ∃n∈Z|y=fⁿ(x) définit une relation d’équivalence sur E.

(2) Montrer que siA est une classe d’équivalence pour cette relation alors f(A)⊂A.

(3) Montrer aussi que si une partie B de E vérifie f(B) =B alorsB est réunion de classes d’équi- valence.

Exercice 17. Soit R_n le nombre de relations d’équivalence définies sur un ensemble à n éléments (avec la conventionR0 = 1). Montrer que

Rn+1=

n

X

k=0

n k

Rk.

Exercice 18. Montrer que la relation R définie sur R par : xRy ⇔ xe^y = ye^x est une relation d’équivalence. Préciser, pour xfixé dans R, le nombre d’éléments de la classe dex moduloR.

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Exercice 19. Montrer que la relationp≺q ⇔ ∃k∈N^∗ |q =p^k munit N^∗ d’une structure partielle- ment ordonnée. Déterminer les majorants de{2,4} pour cet ordre.

Exercice 20. Soit(E,≤)un ensemble ordonné. On définit sur P(E)\{∅} la relation≺par : X≺Y ⇔(X =Y ou∀x∈X,∀y∈Y, x≤y).

Vérifier que ≺est une relation d’ordre.

Exercice 21. Montrer que la relation

(x, y)≺(x⁰, y⁰)⇔ x < x⁰ ou (x=x⁰ ety≤y⁰

définit une relation d’ordre surR² (appelé ordre lexicographique). L’ordre est-il total ?

Exercice 22. On munitR² de la relation≺définie par

(x, y)≺(x⁰, y⁰)⇔x≤x⁰ ety≤y⁰.

(1) Démontrer que≺est une relation d’ordre surR². L’ordre est-il total ?

(2) Le disque fermé de centre O et de rayon 1 a-t-il des majorants ? Un plus grand élément ? Une borne supérieure ?