Université Grenoble-Alpes Licence de Mathématiques, L3A, 2018-2019

Université Grenoble-Alpes Licence de Mathématiques, L3A, 2018-2019 Contrôle continu 1

Documents et calculatrices ne sont pas autorisés. Les exercices sont indépendants.

Exercice 1

Énoncer le théorème de Lagrange pour les groupes.

Exercice 2

On note F7 = {0,1,2,3,4,5,6} le corps Z/7Z. Le groupe multiplicatif des éléments inversibles de ce corps estF^×7 =F7\ {0}. On note T le sous-ensemble deM₃(F7) formé des matrices triangulaires supérieures inversibles, etI la matrice identité de M₃(F7).

1. Montrer que pour tout α∈F^×7, α⁶ = 1.

2. Montrer que T est un sous-groupe de GL₃(F7). Quel est son ordre ?

3. Soit f : T → F^×7 l’application qui à une matrice A = (a_i,j)1≤i,j≤3 associe le coefficient a_1,1. Montrer quef est un morphisme surjectif de groupes.

4. Soit K = Kerf et p : T → T /K la projection canonique. Montrer qu’il existe une application g de l’ensemble quotient T /K dans F^×7 telle que f =g◦p.

5. Quel est le nombre d’antécédents d’un élément de F^×7 par l’application g? 6. Quel est l’ordre de K?

7. SoitA= (a_i,j)1≤i,j≤3 ∈T. En remarquant que la matriceB =a⁻¹_1,1A est dansK, montrer queA^62×73 =I.

8. Pour tout A dans T, on note A la classe de A dans T /K. Montrer qu’on peut définir de façon cohérente une loi de groupe sur T /K en posant A×B = AB pour tousA et B dans T.

9. Soit S le sous-groupe de T formé des matrices de T de déterminant 1 et p₁ : T → T /S la projection canonique. Existe-t-il une application g₁ de l’ensemble quotient T /S vers F^×7 telle que f =g1◦p1?

10. Soit H le sous-groupe de T formé des matrices de T dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1 et p₂ : T → T /H la projection canonique. Montrer qu’il existe une application g₂ de l’ensemble quotient T /H vers F^×7 telle que f =g₂◦p₂.

11. Soit A∈T. On note A=AK sa classe d’équivalence modulo K etA˜=AH sa classe d’équivalence modulo H. Quels sont les cardinaux de A et A˜? Montrer queA est la réunion disjointe de classes d’équivalence modulo H.

12. Étant donné α∈F^×7, en déduire le cardinal de l’image réciproque g₂⁻¹({α}).

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Un corrigé

1. Soitα ∈F^×7. D’après le théorème de Lagrange, l’ordre deα divise l’ordre deF^×7

qui est 6, doncα⁶ = 1.

2. On a I ∈ T et T ⊂ GL₃(F7). De plus, le produit de deux matrices triangu- laires supérieures et l’inverse d’une matrice triangulaire supérieure sont encore des matrices triangulaires supérieures. Donc T est un sous-groupe de GL₃(F7).

Choisir une matrice deT revient à choisir indépendamment ses trois coefficients diagonaux dansF^×7 (pour assurer l’inversibilité) et ses trois coefficients au-dessus de la diagonale dans F7. Donc |T|= 6³×7³.

3. L’application f est bien définie. Quand on multiplie deux matrices triangulaires supérieures, les coefficients diagonaux du produit sont les produits terme à terme des coefficients diagonaux. Donc f est un morphisme de groupes.

Siα∈F^×7, alors αI ∈T etα=f(αI). Donc f est surjective.

4. Comme f est un morphisme de groupes, la relation d’équivalence associée à f coïncide avec la relation d’équivalence associée au sous-groupe K = Kerf. Le théorème de factorisation des applications fournit une application injectiveg de T /K dans F^×7 telle que f =g◦p.

5. De plus, g est surjective car f l’est. Ainsi, g est une bijection entreT /K et F^×7. Chaque élément de F^×7 a donc exactement un antécédent par g.

6. On peut déduire que |K| = 6² ×7³ de la question 2 et de la relation |T| =

|Kerf| × |Imf|=|K| × |F^×7|.

Autre raisonnement plus direct : choisir une matrice deT dansf⁻¹({α})revient à choisir indépendamment ses deux derniers coefficients diagonaux dans F^×7 et ses trois coefficients au-dessus de la diagonale dansF⁷.

7. Soit A = (a_i,j)_1≤i,j≤3 ∈ T. Soit B =a⁻¹_1,1A. Alors le coefficient (1,1) de B vaut a⁻¹_1,1a_1,1 = 1. Donc B ∈K. L’ordre de B divise l’ordre de K. Ainsi,

A^62×73(a_1,1B)^62×73 = (a⁶_1,1)^6×73B^62×73 = 1I =I.

8. On commence par montrer la cohérence de la définition. Rappelons que la rela- tion d’équivalence associée à K est aussi celle associée à f. Par conséquent, si A⁰ et B⁰ sont des matrices respectivement dans la même classe modulo K que A et B, alors f(A⁰) = f(A) et f(B⁰) = f(B). Comme f est un morphisme de groupes,f(AB) = f(A)f(B) =f(A⁰)f(B⁰) =f(A⁰B⁰), ainsiAB =A⁰B⁰, ce qui montre queAB ne dépend que des classes A etB.

La loi obtenue est interne par construction et hérite des propriétés de la multi- plication dans T : elle est associative, I est élément neutre et A admet comme inverse A⁻¹. Donc a bien défini une loi de groupe sur T /K.

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9. Pour tout α∈F^×7, la matrice diagonale de diagonale (α, α⁻¹,1)est dansS et a pour image α par f. Comme f n’est pas constante sur S, il ne peut pas exister d’application g₁ de T /S vers F^×7 telle que f =g₁◦p₁.

10. Comme H est inclus dans K = Kerf, le morphisme de groupes f est constant égal à1surH donc il est constant plus généralement sur chaque classe modulo H. Donc il existe une application g₂ de l’ensemble quotient T /H vers F^×7 telle quef =g₂◦p₂.

11. D’après le cours, les classes A = AK et A˜ = AH ont respectivement même cardinal que K etH, à savoir 6²×7³ et 7³. Comme I ∈H ⊂K, on a

∀B ∈A, {B} ⊂BH ⊂BK =B =A.

Donc

A= [

B∈A

{B} ⊂ [

B∈A

BH ⊂ [

B∈A

A=A.

Ainsi,

A= [

B∈A

BH.

Donc A est une union de classes modulo H. Deux classes modulo H étant soit égales soit disjointes, on peut se ramener à une union disjointe de 6² classes modulo H (à cause des cardinaux) en supprimant les doublons.

12. Soit α ∈F^×7. Soit A∈T. Alors g₂( ˜A) =g₂(p₂(A)) =f(A). DoncA˜∈g⁻¹₂ ({α}) si et seulement sif(A) =α. Autrement dit, g₂⁻¹({α})est l’ensemble des classes modulo H des matrices de f⁻¹({α}). Mais f⁻¹({α}) est une classe modulo K.

Doncg⁻¹₂ ({α}) a exactement 6² éléments (qui sont des classes modulo H).

Remarques sur les copies :

1. Quand on sait que l’ordre d’un élément g dans un groupe (G,·) divise k, on en déduit directement queg^k = 1_G sans qu’il y ait besoin de détailler plus.

2. Faire attention à l’ensemble dans lequel varient les objets. Une expression comme f(a_1,1) lorsque A= (a_i,j)1≤i,j≤3 n’a pas de sens.

3. Ne pas supposer implicitement queg existe quand on veut montrer son existence en vérifiant par exemple que f est constante sur chaque classe d’équivalence.

L’unicité de g n’était pas demandée ici. Quand on affirme que f est surjective, il faut le prouver. Par ailleursg est surjective car f l’est (vu en TD).

4. Comme f est un morphisme de groupes, la relation d’équivalence associée à Kerf est aussi la relation d’équivalence associée àf (vu en TD). Il faut le dire explicitement !

5. Beaucoup de réponses délirantes sur un dénombrement pourtant facile pour trouver le cardinal deT ou de K.

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