Université Grenoble Alpes Année 2019-2020 Licence de mathématiques, 3e année Algèbre, parcours B
Contrôle continu du lundi 9 décembre 2019
Durée : 1 h 30
Documents, calculatrices, téléphones interdits.
Argumenter vos réponses et énoncer avec précision les théorèmes utilisés.
Le barème est donné à titre indicatif.
Exercice 1. (4 points)
Soit f :A→B un morphisme d’anneaux. Les énoncés suivants sont-ils vrais ou faux ? (On donnera soit une preuve, soit un contre-exemple pour étayer la réponse.)
1. L’image réciproque d’un idéal de B par f est un idéal de A.
2. L’image d’un idéal de A par f est un idéal de B.
3. L’image d’un idéal de A par f est un idéal de B si f(A) =B.
Exercice 2. (7 points)
Soit A={P ∈Q[X]|P0(0) = 0}.
1. Montrer que A est un sous-anneau de Q[X].
2. Quels sont les éléments inversibles de A?
3. Montrer que X2 etX3 sont irréductibles dans A.
4. Donner deux décompositions distinctes, même à permutation et produit par des in- versibles près, de X6 en produit d’irréductibles.
5. Pourquoi peut-on en déduire que A n’est pas principal ? 6. Montrer que I = (X2, X3) n’est pas un idéal principal.
Exercice 3. (9 points) Soit j = exp(2iπ3 ) = −1+i
√3
2 . On considère le sous-anneauA de Cengendré par j.
1. Montrer que A = {a+bj | a, b∈Z}. Montrer que l’écriture d’un élément de A sous la formea+bj est unique.
On pose, pour tout z ∈C, N(z) = |z|2. 2. (a) Montrer que si z ∈A alors N(z)∈Z.
(b) Soit z ∈A. Montrer que z ∈A× si et seulement si N(z) = 1.
3. Décrire le groupe A× et en déterminer les éléments d’ordre 3.
4. Soit Φ :Z[X]→C, P 7→P(j).
(a) Montrer que Φ est un homomorphisme d’anneaux.
(b) Déterminer l’image et le noyau de Φ.
(c) Montrer que A est isomorphe au quotient Z[X]/(X2 +X + 1) où (X2 +X+ 1) est l’idéal de Z[X]engendré par X2+X+ 1.
(d) En déduire que l’idéal (X2 +X+ 1) n’est pas maximal.
(e) L’idéal (X2+X+ 1) est-il premier ? Justifier.
