Université de Rennes 1 Année 2019/2020

Université de Rennes 1 Année 2019/2020 Algèbre commutative et géométrie algébrique

À rendre pour le 6 mai 2020

Comme toujours, en mathématiques, tous les résultats doivent être justifiés. Bon courage.

1. On considère pour k = 1, . . . ,5 les applicationsϕ_k:A¹(R)→A²(R) définies par 1. ϕ1(t) = (t², t³),

2. ϕ₂(t) = (t², t⁴), 3. ϕ₃(t) = (t,sin(t)), 4. ϕ₄(t) = (cos(t),sin(t)), 5. ϕ₅(t) =







(ln(t),0) si t >0 (0,0) si t = 0 (0,ln(−t)) si t <0

(a) Pour k = 1, . . . ,5 (on pourra faire les questions dans le désordre) : i. Faire un dessin représentant l’image A_k de ϕ_k.

ii. Le sous-ensemble A_k est il algébrique ?

iii. Déterminer (sinon) la fermeture algébriqueV_k de A_k. iv. Déterminer son idéal de définition Ik.

v. L’ensemble algébrique V_k est-il irréductible ?

vi. Déterminer (sinon) les composantes irréductibles de V_k. Solution:

1. Nous allons montrer que A₁ est algébrique irréductible et que I₁ = (Y²−X³). Puisque A₁ est infini et Y²−X³ est irréductible (X³ n’est pas un carré), il suffit de montrer queA1 = V(Y²−X³). Il est clair que Y² −X³ s’annule surA₁. Réciproquement, supposons que (a, b)∈ V₁, ce qui signifie que a² =b³. Si a= 0, on pose t= 0 et si a6= 0, on pose t =b/a. Dans les deux cas, on aura (a, b) = (t², t³).

2. Nous allons montrer queA₂ n’est pas algébrique mais que sa fermeture algébrique estV₂ = V(Y −X²) si bien queI₂ = (Y −X²). On procède comme précédemment. Puisque le polynôme Y −X² est irréductible (car de degré un en Y) et s’annule sur A₂ qui est infini, il suffit juste de montrer que A₁ 6=V₁ : prendre le point (−1,1) par exemple.

3. Nous allons montrer que A₃ n’est pas algébrique et que V₃ = A²(R) - qui est irréductible - si bien que I3 = {0}. On considère la droite H_b d’équation Y = b avec −1 ≤ b ≤ 1. Puisque A₃ ∩H_b est infini, on a nécessairement H_b ⊂ V₃. Mais alors, si a ∈ R et L_a est la droite d’équationX =a, l’ensembleV3∩Laest infini et doncLa ⊂V3. Comme c’est vrai pour tout a ∈R, on aA²(R)⊂V₃.

4. Nous allons montrer que A₄ est algébrique irréductible et que I₄ = (X²+Y²−1). Cela résulte du fait queA4 = V(X²+Y²−1) (utiliser les coordonnées polaires), que c’est un ensemble infini et queX²+Y²−1 est un polynôme irréductible (puisque 1−Y² n’est pas un carré).

5. Nous allons montrer queA₅ est algébrique mais n’est pas irréductible, que I₅ = (XY) et que les composantes irréductibles de A₅ sont les droites V(X) et V(Y). Clairement XY s’annule sur A₄. Réciproque- ment, supposons que a, b ∈ R satisfont ab = 0. Si a = b = 0, on pose t = 0 ; si a 6= 0, on pose alors t = e^a; si b 6= 0 et on pose t =−e^b. Dans tous les cas, on a bien (a, b) = ϕ₅(t). Cela montre que A₅ = V(XY) = V(X)∪V(Y) et on en déduit que

I(A₅) = I(V(X)∪V(Y)) = I(V(X))∩I(V(Y))) = (X)∩(Y) = (XY) (puisque (X) et (Y) sont étrangers).

(b) i. Montrer qu’une courbe infinie de la forme V(F) avecF ∈ R[X, Y] irréduc- tible ne peut pas être homéomorphe (pour la topologie de Zariski) au plan A²(R),

ii. montrer que ϕ1 induit un homéomorphisme (pour la topologie de Zariski) entreA¹(R) et V₁,

iii. montrer qu’il existe un isomorphisme entre A¹(R) et V₂,

iv. montrer que toute application polynomiale A¹(R) vers V₄ est constante, v. en déduire que toute application polynomiale de V₂ vers V₄ est constante.

vi. en déduire aussi que toute application polynomiale de V1 vers V4 est constante.

Solution:

i. Un homéomorphisme est une bijection qui préserve les fermés. Or les fermés propres de V(F) sont les ensembles finis alors que les droites par exemple sont des fermés propres infinis du plan. Il n’existe donc pas d’homéomorphisme entre V(F) et A²(R).

ii. On sait que ϕ₁ est continue et que son image est A₁ =V₁. De plus, si (a, b) = (t², t³), on a nécessairement t = 0 ou t = b/a, ce qui montre queϕ₁ est injectif. Enfin, l’image d’un fermé est un fermé : c’est soit un ensemble fini, soitV₁. On voit donc queϕ₁ induit un homéomorphisme entre A¹(R) et V₁.

iii. La division euclidienne induit un isomorphisme de R-algèbres entre R[X] et R[X, Y]/(Y −X²). On en déduit un isomorphisme entre les anneaux de coordonnées deA¹(R) et deV₂, et donc entre A¹(R) et V₂. iv. Une application polynomiale A¹(R) → V₄ envoie t sur un couple (F(t), G(t)) avec F, G ∈ R[t] et F(t)² +G(t)² = 1. Il suffit alors de remarquer¹ que F(t) + iG(t) ∈ C[t] est alors inversible (d’inverse

F(t) −iG(t)) dans C[t] et donc constant ; si bien que F et G sont constant. On voit donc qu’une application polynomiale de la droite vers V₄ est automatiquement constante.

v. PuisqueV₂ est isomorphe àA²(R), toute application polynomiale de V₂ vers V₄ est aussi constante (sinon, en composant avec l’isomorphisme, on aurait une application polynomiale non-constante de la droite vers V₄).

vi. On procède de la même façon dans le dernier cas. Si on se donne une application polynomiale ψ : V₁ → V₄, on peut la composer avec ϕ₁ pour obtenir une application polynomiale A¹(R) → V₄ qui est nécessairement constante. Puisque ϕ₁ est bijective, ψ aussi est constante.

(c) i. Montrer que ϕ₁ fournit un isomorphisme de R-algèbres entreR[V₁] et R:=

( _d X

i=0

a_itⁱ ∈R[t], a₁ = 0

)

,

ii. montrer quet² est irréductible mais n’est pas premier dans R, iii. en déduire queR[V₁] n’est pas factoriel.

Solution:

i. On sait queϕ₁ induit une application polynomiale surjectiveA¹(R)→ V₁ et donc un morphisme injectif de R-algèbres

R[V₁],→R[t], f 7→f(t², t³).

Si F =^Pa_ijXⁱY^j ∈R[X, Y], on a

F(t², t³) =^Xa_ijt^2i+3j =^X

k



 X

2i+3j=k

a_ij



t^k

et comme l’équation 2i+ 3j =k est impossible avec i, j ∈N, on voit que F(t², t³)∈R. Réciproquement, supposons que ^Pa_kt^k ∈R (c’est à dire a₁ = 0). Si on poseF =^Pa_2iXⁱ+^Pa_2i+3XⁱY, on a bien

F(t², t³) =^Xa_2it²ⁱ+^Xa_2i+3t²ⁱ⁺³=^Xa_kt^k.

ii. Montrons maintenant que t² est irréductible mais n’est pas premier dansR. Bien sûr,t² n’est pas inversible dansRsinon il serait inversible dans R[t]. De même, un facteur det² dansR est aussi un facteur det² dansR[t] et donc de la formec,ctouct²avecc6= 0. Commect /∈R, on voit que les facteurs sont couct², ce qui signifie que t² est irréductible dans R. Par contre, ont² divise (t³)² maist² ne divise past³ ett² n’est donc pas premier dans R.

iii. Dans un anneau factoriel, tout élément irréductible est premier. On voit donc que R n’est pas factoriel. Puisque R[V₁] est isomorphe à R, il n’est pas factoriel non plus.

(d) Montrer qu’aucun des ensemble algébrique V₁, V₂, V₃, V₄, V₅ n’est isomorphe à l’un des autres.

Solution: Puisque V₅ n’est pas irréductible, il ne peut pas être isomorphe à l’un des autres qui sont tous irréductibles (l’image d’un irréductible par une application continue est toujours irréductible). De même, comme on l’a vu, V₃ qui est égal à A²(R) ne peut pas être homéomorphe, et donc pas isomorphe non plus, àV₁,V₂ouV₄ qui sont tous infinis de la forme V(F) avec F ∈ R[X, Y] irréductible. Ensuite, V₁ et V₂ ne sont pas isomorphe puisque R[V₁] n’est pas factoriel alors queR[V₂]'R[t] est factoriel. Enfin, comme il n’existe pas d’application non-constante V₁ → V₄ ou V₂ → V₄, on voit que V₄ ne peut pas être isomorphe àV₁ ou à V₂.

2. On considère les courbes algébriquesC et D d’équations respectives X²+Y²+X³+Y³ = 0 et X³+Y³−2XY = 0

sur un corps algébriquement clos k (on discutera selon la caractéristique de k).

(a) Déterminer les points singuliers de ces deux courbes, leur multiplicité ainsi que les équations des tangentes en ces points.

Solution:

1. On résout







X²+Y²+X³+Y³ = 0 2X+ 3X² = 0

2Y + 3Y² = 0.

On remarque tout de suite que X = Y = 0 est bien solution.

Réciproquement, si car(k) = 2 ou car(k) = 3, on a nécessairement X =Y = 0 et on suppose dans la suite que 2 et 3 sont inversibles dans k. On aura alors X² =−²₃X si bien que X³ = ⁴₉X et symétriquement Y² = −²₃Y si bien que Y³ = ⁴₉Y. On remplace dans la première équation pour trouver

−2 3X+ 4

9X− 2 3Y +4

9Y = 0

c’est à dire −²₉(X+Y) = 0 ou encore X+Y = 0. Le système est donc équivalent à







X+Y = 0 2X+ 3X² = 0

−2X+ 3X² = 0.

qui a pour unique solution X =Y = 0. On voit donc que, dans tous les cas, l’origine est le seul point singulier. C’est bien sûr un point de multiplicité 2 avec deux tangentes d’équations Y =±iX si car(k)6= 2 et une tangente double d’équation Y =iX si car(k) = 2.

2. On résout







X³+Y³−2XY = 0 3X²−2Y = 0 3Y²−2X = 0.

On remarque tout de suite que X = Y = 0 est bien solution.

Réciproquement, si car(k) = 2 ou car(k) = 3, on a nécessairement X =Y = 0 et on suppose dans la suite que 2 et 3 sont inversibles dans k. On aura alors X² = ²₃Y etY² = ²₃X. On remplace dans la première équation pour trouver

2

3XY + 2

3XY −2XY = 0

c’est à dire −²₃XY = 0 ou encore XY = 0. Le système est donc équivalent à







XY = 0 3X²−2Y = 0 3Y²−2X = 0

qui a pour unique solution X =Y = 0. On voit donc que, dans tous les cas, l’origine est le seul point singulier. C’est bien sûr un point de multiplicité 2 avec deux tangentes distinctes d’équations X = 0 et Y = 0 lorsque car(k)6= 2. Si car(k) = 2, c’est un point de multiplicité 3 avec trois tangentes distinctes d’équations Y = X, Y = jX et Y =j²X.

(b) Déterminer les points d’intersection de ces deux courbes ainsi que les multipli- cités d’intersection en ces points.

Solution: En caractéristique 2, le système

( X²+Y²+X³+Y³ = 0 X³+Y³−2XY = 0

est équivalent àX =Y. Les courbes ont donc en commun la droite d’équation Y =X (et pas d’autres points) et on a bien sûr (C·D)_P = +∞en ces points.

Supposons maintenant que Car(k)6= 2. Pour simplifier les notations, on va écrire I(F, G) := ([F],[G])_P siF, G∈k[X, Y]. On a alors

(C·D)_P = I(X²+Y² +X³+Y³, X³+Y³−2XY)

= I(X²+Y² + 2XY, X³+Y³−2XY)

= I((X+Y)², X³+Y³−2XY)

= 2I(X+Y, X³+Y³−2XY)

= 2I(X+Y,2X²)

= 4I(X+Y, X)

= 4I(X, Y)

On voit donc que les deux courbes ne se coupent qu’à l’origine avec la multiplicité 4. Alternativement, on pouvait remarquer qu’elles n’ont pas de tangente en commun à l’origine et donc que leur multiciplitié d’intersection est le produit des multiplicités, c’est à dire 2×2 = 4 mais il faut alors vérifier qu’elles ne se coupent pas ailleurs.

(c) Comparer ^P_P(C · D)_P avec deg(C) deg(D) (lorsque C et D n’ont pas de composante commune).

Solution: On a

X

P

(C·D)_P = 4<9 = deg(C) deg(D).