Université de Rennes 1 Année 2018/2019

Université de Rennes 1 Année 2018/2019 Algèbre commutative et géométrie algébrique

Épreuve du mercredi 24 avril Début 15h - Durée 1h

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1. (a) (2 points) On fixeλ∈R⁶⁼⁰. Montrer que la lemniscate d’équation polaire r² =λ²cos(2θ)

est une courbe affine plane dont on déterminera une équation.

Solution: En écrivant que cos(2θ) = cos²(θ)−sin²(θ) et en multipliant par r², on voit que

(rcos(θ), rsin(θ))∈C ⇔r⁴ =λ²(r²cos²(θ)−r²sin²(θ)).

Il suit que C est la courbe affine plane d’équation (X²+Y²)² =λ²(X²−Y²).

(b) (5 points) Montrer que la courbe C d’équation (X²+Y²)² =λ²(X²−Y²) est irréductible et déterminer son idéal de définition.

Solution: On sait déjà que C est la lemniscate qui est bien sûr infinie puisque cos(2θ) peut prendre une infinité de valeurs positives. Il suffit donc de montrer que le polynôme

F := (X²+Y²)² −λ²(X²−Y²)

est irréductible pour s’assurer queCest irréductible et obtenir un générateur de I(C). Comme les composantes homogènes de F n’ont pas de facteur commun, une décomposition de F serait nécessairement de la forme

F = (X²+Y²−G)(X²+Y²−H)

avec G, H homogènes de degré 1. On aurait alors (X² +Y²)(G+H) = 0 et GH =−λ²(X²−Y²) si bien que G+H = 0 et donc G² =λ²(X²−Y²), ce qui est impossible car X²−Y² n’est pas un carré.

(c) (3 points) Montrer que toute application polynomiale ϕ : A¹(R) → C est constante.

Solution: Dire que ϕest polynomiale signifie qu’il existe G, H ∈ R[T] tels que

∀t∈R, ϕ(t) = (G(t), H(t)) et

(G²+H²)² =λ²(G²−H²).

Si G ou H n’est pas constant, alors en particulier, ils ne sont pas nuls tous les deux et (G²+H²)² non plus. Il suit que (G²+H²)² est un polynôme de degré strictement plus grand que λ²(G²−H²). Contradiction.

2. On fixe un corps algébriquement clos k (mais on traitera aussi le cas de la caracté- ristique deux) et on considère le polynôme

F :=Y⁴+Y²(X−1) +X²(X+ 2)∈k[X, Y].

(a) (5 points) Déterminer les points singuliers de la courbe C d’équation F = 0.

Solution: On doit résoudre







Y⁴+X³+XY²+ 2X²−Y² = 0 3X²+Y²+ 4X = 0

4Y³+ 2XY −2Y = 0.

Lorsque Car(k) = 2, la dernière équation disparait, la seconde fournit Y² = X² et en remplaçant dans la première, on trouve X⁴ = X². On a donc deux points singuliers (0,0) et (1,1). On suppose dorénavant que Car(k)6= 2. Le cas Y = 0 fournitX = 0 ou bien un système incompatible et on trouve donc l’origine. Sinon, on tire de la dernière équation 2Y² = 1−X et en remplaçant dans la seconde, 6X²+ 7X+ 1 = 0 qui donne X =−1 ou X =−1/6. Pour éliminer la seconde valeur possible, on remplaceXpar−1/6 et Y² par 7/12 dans la première équation pour trouver une contradiction.

On a donc trois points singuliers (0,0), (−1,1) et (−1,−1).

(b) (4 points) Déterminer la multiplicité des points (0,0), (−1,1), (−1,−1) et (−2,0) dansC.

Solution: L’origine est clairement un point double. On calcule ensuite F(X−1, Y + 1) = (Y + 1)⁴+ (Y + 1)²(X−2) + (X−1)²(X+ 1)

≡4Y²+ 2XY −X² mod (X, Y)³

On voit donc que le point (−1,1) aussi est un point double et il en va donc de même par symétrie du point (1,−1). Enfin, le points (−2,0) est un point non-singulier de C et sa multiplicité vaut donc 1 - sauf en caractéristique deux où on retombe sur l’origine.

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3. On suppose toujours k algébriquement clos (et on pourra appliquer le théorème de Bézout).

(a) (2 points) Montrer qu’une (droite) tangente à une conique irréductible ne coupe cette conique en aucun autre point.

Solution: Désignons par C la conique, ∆ la droite et P le point de tangence. Puisque C et ∆ sont tangentes en P, on a (C,∆)P ≥ 2. Puisque deg(C) deg(∆) = 2, le théorème de Bézout implique queC∩∆ ={P}.

(b) (2 points) Montrer qu’une (droite) tangente à une cubique irréductible en un point singulier ne coupe cette cubique en aucun autre point.

Solution: Désignons parC la cubique, ∆ la droite etP le point. PuisqueC et ∆ sont tangentes en P et que P est singulier, on a (C,∆)_P ≥3. Puisque deg(C) deg(∆) = 3, le théorème de Bézout implique queC∩∆ ={P}.

(c) (2 points) Montrer qu’une droite passant par deux points singuliers distincts d’une quartique irréductible ne coupe cette quartique en aucun autre point.

Solution: Désignons parC la quartique, ∆ la droite etP, Qles deux points.

Puisque P et Q sont singuliers, on a (C,∆)_P ≥ 2 et (C,∆)_Q ≥ 2 Puisque deg(C) deg(∆) = 4, le théorème de Bézout implique queC∩∆ ={P, Q}.

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